Seja
Temos que e , determine um positivo tal que sempre que . Faça uma interpretação geométrica desse limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o limite da função quando se aproxima de 3. A função é definida por:
Sabemos que e precisamos encontrar um positivo tal que, para todo que esteja dentro de uma distância de 3 (mas diferente de 3), a diferença seja menor que . Para isso, vamos usar a definição de limite com e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição que queremos satisfazer:
Como quando , substituímos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a desigualdade:

Passo 4

A última desigualdade nos mostra que podemos escolher . Assim, sempre que estiver a menos de 0,05 unidades de 3 (mas diferente de 3), a condição será satisfeita.

Resposta

O valor de positivo que satisfaz a condição é .

Interpretação Geométrica

Geometricamente, isso significa que se você desenhar o gráfico da função , próximo a , você pode traçar uma faixa horizontal entre e . A escolha de indica que, ao se aproximar de dentro desse intervalo de , os valores de ficarão dentro dessa faixa vertical, confirmando que o limite de quando se aproxima de 3 é realmente 5.

Exercícios relacionados

Seja
Quais são os valores de para que esteja definida?
O domínio é o subconjunto de no qual todas as operações indicadas em são possíveis. Encontre o domínio das seguintes funções: ;
Encontre os seguintes limites, caso eles existam. No caso de não existirem, explique o motivo. ;
Encontre os seguintes limites, caso eles existam. No caso de não existirem, explique o motivo.