Seja
f(x)=cc 2 x-1 & se x neq 3 6 & se x=3
Temos que lim x 3 f(x)=5 e epsilon=0,1, determine um de positivo tal que |f(x)-L| sempre que 0<|x-a|. Faça uma interpretação geométrica desse limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o limite da função f(x) = 2x - 1 & se x neq 3 6 & se x = 3 quando se aproxima de 3. A função é definida por:
Sabemos que e precisamos encontrar um positivo tal que, para todo que esteja dentro de uma distância de 3 (mas diferente de 3), a diferença seja menor que . Para isso, vamos usar a definição de limite com e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição que queremos satisfazer:
|f(x) - 5| < 0,1
Como |2x - 1 - 5| < 0,1 |2x - 6| < 0,1 quando , substituímos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a desigualdade:
|2x - 6| < 0,1 2|x - 3| < 0,1 (porque |2x - 6| = 2|x - 3| ) |x - 3| < 0,12 |x - 3| < 0,05

Passo 4

A última desigualdade nos mostra que podemos escolher . Assim, sempre que estiver a menos de 0,05 unidades de 3 (mas diferente de 3), a condição será satisfeita.

Resposta

O valor de positivo que satisfaz a condição é .

Interpretação Geométrica

Geometricamente, isso significa que se você desenhar o gráfico da função , próximo a , você pode traçar uma faixa horizontal entre e . A escolha de indica que, ao se aproximar de dentro desse intervalo de , os valores de ficarão dentro dessa faixa vertical, confirmando que o limite de quando se aproxima de 3 é realmente 5.

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