Seja
Temos que
e
, determine um
positivo tal que
sempre que
. Faça uma interpretação geométrica desse limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o limite da função
quando
se aproxima de 3. A função é definida por:
Sabemos que
e precisamos encontrar um
positivo tal que, para todo
que esteja dentro de uma distância
de 3 (mas diferente de 3), a diferença
seja menor que
. Para isso, vamos usar a definição de limite com
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição que queremos satisfazer:
Como
quando
, substituímos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a desigualdade:
Passo 4
A última desigualdade nos mostra que podemos escolher
. Assim, sempre que
estiver a menos de 0,05 unidades de 3 (mas diferente de 3), a condição
será satisfeita.
Resposta
O valor de
positivo que satisfaz a condição é
.
Interpretação Geométrica
Geometricamente, isso significa que se você desenhar o gráfico da função
, próximo a
, você pode traçar uma faixa horizontal entre
e
. A escolha de
indica que, ao se aproximar de
dentro desse intervalo de
, os valores de
ficarão dentro dessa faixa vertical, confirmando que o limite de
quando
se aproxima de 3 é realmente 5.
Exercícios relacionados
Seja
Quais são os valores de para que
esteja definida?
Quais são os valores de
O domínio é o subconjunto de
no qual todas as operações indicadas em
são possíveis. Encontre o domínio das seguintes funções:
;
Encontre os seguintes limites, caso eles existam. No caso de não existirem, explique o motivo.
;
Encontre os seguintes limites, caso eles existam. No caso de não existirem, explique o motivo.