Encontre os seguintes limites, caso eles existam. No caso de não existirem, explique o motivo. lim x infty raizx^2-16|x|

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a questão: precisamos encontrar o limite de quando tende ao infinito. Isso está ligado ao conteúdo de limites no infinito e funções racionais com raízes. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e como o comportamento das funções muda quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Temos raizx^2 - 16 = raizx^2(1 - 16x^2) . Podemos fatorar de dentro da raiz para facilitar:
Isso usa a propriedade .

Passo 3

Agora, separando a raiz, temos:
raizx^2(1 - 16x^2) = raizx^2 cdot raiz1 - 16x^2
Sabemos que raizx^2 cdot raiz1 - 16x^2 = |x| cdot raiz1 - 16x^2 , então:

Passo 4

Voltando à nossa expressão original:
raizx^2-16|x| = |x| cdot raiz1 - 16x^2|x|
Os |x| cdot raiz1 - 16x^2|x| = raiz1 - 16x^2 se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de limx to infty raiz1 - 16x^2 = raiz1 - 0 = raiz1 = 1 quando tende ao infinito. Quando cresce sem limite, tende a zero. Então:

Resposta

O limite é igual a 1.

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