Encontre todas as soluções da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as soluções da equação
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente de equações polinomiais de grau 4 e números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos chamar
. Assim, a equação original se transforma em:
Esse é um polinômio de segundo grau, e podemos resolvê-lo usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Bhaskara para a equação
:
Onde
,
e
. Substituindo esses valores:
Como o discriminante (
) é negativo, sabemos que as soluções são números complexos.
Passo 4
Simplificando a raiz quadrada:
Então, as soluções para
são:
Passo 5
Lembrando que
, temos:
Para encontrar
, precisamos extrair a raiz quadrada de um número complexo. Vamos considerar a forma
para resolver isso.
Passo 6
Para resolver
, assumimos que
. Então:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos
e
.
Passo 7
Portanto, uma das soluções é:
A outra solução é o conjugado:
Fazendo o mesmo para
, encontramos mais duas soluções:
Resposta
As soluções da equação
são:
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.
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Resolva a equação
.
Quando
e
são iguais, o que podemos dizer sobre a localização do ponto
no plano complexo?