Encontre todas as soluções da equação .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as soluções da equação . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente de equações polinomiais de grau 4 e números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos chamar . Assim, a equação original se transforma em:
Esse é um polinômio de segundo grau, e podemos resolvê-lo usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara para a equação :
Onde , e . Substituindo esses valores:
Como o discriminante ( ) é negativo, sabemos que as soluções são números complexos.

Passo 4

Simplificando a raiz quadrada:
Então, as soluções para são:

Passo 5

Lembrando que , temos:
Para encontrar , precisamos extrair a raiz quadrada de um número complexo. Vamos considerar a forma para resolver isso.

Passo 6

Para resolver , assumimos que . Então:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .

Passo 7

Portanto, uma das soluções é:
A outra solução é o conjugado:
Fazendo o mesmo para , encontramos mais duas soluções:

Resposta

As soluções da equação são:

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