Resolva a equação x^4 + 1 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Essa é uma equação polinomial de quarto grau, e para resolvê-la, vamos precisar trabalhar com números complexos, já que não conseguimos encontrar raízes reais para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o termo :
Agora, queremos encontrar todos os números complexos que, elevados à quarta potência, resultem em .

Passo 3

Lembrando dos números complexos na forma polar, qualquer número complexo pode ser escrito como:
onde é o módulo e é o argumento.

Passo 4

Para resolver , vamos expressar na forma polar. Sabemos que pode ser escrito como:
Agora, aplicando a fórmula de De Moivre para encontrar as raízes de ordem 4:

Passo 5

Calculando para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

As soluções da equação são:

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