Resolva a equação .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Essa é uma equação polinomial de quarto grau, e para resolvê-la, vamos precisar trabalhar com números complexos, já que não conseguimos encontrar raízes reais para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o termo :
Agora, queremos encontrar todos os números complexos que, elevados à quarta potência, resultem em .

Passo 3

Lembrando dos números complexos na forma polar, qualquer número complexo pode ser escrito como:
onde é o módulo e é o argumento.

Passo 4

Para resolver , vamos expressar na forma polar. Sabemos que pode ser escrito como:
Agora, aplicando a fórmula de De Moivre para encontrar as raízes de ordem 4:

Passo 5

Calculando para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

As soluções da equação são:

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a. Estenda os resultados do Exercício 26 para mostrar que se
é um polinômio com coeficientes reais .
b. Se é uma raiz da equação , onde é um polinômio com coeficientes reais como no item (a), mostre que o conjugado é também uma raiz da equação. (Sugestão: Seja ; então, tanto quanto são zero. Utilize o fato de que .)