Encontre a série de Fourier da função
dada
, se
, se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier juntos! A gente tem uma função
que é definida de forma diferente em dois intervalos e é periódica com período 6. Nosso objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier, tanto os de cosseno quanto os de seno, além do termo constante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Como
, o período
é 6. A frequência fundamental
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular o termo constante
da série de Fourier. Esse termo representa a média da função no intervalo considerado. A fórmula para
é:
Como a função
para
, a integral simplifica para:
Vamos resolver essa integral:
Então,
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
dos termos de cosseno. A fórmula é:
Novamente, como
para
, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando tabelas de integrais, mas fica bem complicada. Para simplificar, vamos deixar os coeficientes
expressos dessa forma.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
dos termos de seno. A fórmula é:
Mais uma vez, como
para
, a integral fica:
Assim como os
, os
também podem ser complexos de calcular, então vamos manter essa forma.
Passo 6
Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier da função
é dada por:
Substituindo o valor de
:
Resposta
A série de Fourier da função
é:
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dada
, se
, se
Justifique sua resposta.
j)