Seja a sequência de números reais (an)n in N :
a) Defina matematicamente a expressão lim n infty an=a. Dê um exemplo de uma sequência (an)n in N que é convergente para um certo valor real a.
b) Se (an)n in N for limitada, podemos garantir que ela será convergente? Se sim, justifique. Se não, dê um exemplo de uma sequência (an)n in N limitada e divergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. O exercício trata de sequências numéricas e seus comportamentos, especificamente sobre limites e convergência. Precisamos definir matematicamente o limite de uma sequência, dar um exemplo de sequência convergente e, na segunda parte, discutir se uma sequência limitada é necessariamente convergente.

Passo 2

Parte a: Definição de limite
O limite de uma sequência (an)n in N quando n tende ao infinito é um número real a tal que os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de a à medida que n aumenta. Matematicamente, isso significa que:
limn to infty an = a se, para todo varepsilon > 0, existe N in N tal que, para todo n >= N, |an - a| < varepsilon
Isso é a definição formal de limite de uma sequência.

Passo 3

Vamos dar um exemplo de uma sequência que converge para um certo valor real. Considere a sequência (an) = (1n).
Queremos mostrar que limn to infty 1n = 0.
À medida que n aumenta, 1n se aproxima de 0. Por exemplo, se n=10, an = 0,1; se n=100, an = 0,01; e assim por diante. Portanto, essa sequência é convergente para 0.

Passo 4

Parte b: Sequência limitada e convergente
A questão aqui é: se uma sequência é limitada, isso garante que ela é convergente? A resposta é não. Uma sequência limitada não necessariamente converge.
Justificativa:
Enquanto a convergência implica que a sequência está se aproximando de um único valor, uma sequência limitada apenas garante que seus termos não saem de um certo intervalo, mas podem oscilar dentro desse intervalo sem se estabilizar.
Exemplo de sequência limitada e divergente:
Considere a sequência (an) = ((-1)^n).
Essa sequência é limitada porque seus termos são sempre -1 ou 1. No entanto, ela não converge, pois não se aproxima de um único valor à medida que n aumenta. Ela continua alternando entre -1 e 1 indefinidamente.

Resposta

a) O limite da sequência (an) é definido como limn to infty an = a se, para todo varepsilon > 0, existe um N tal que, para todo n >= N, |an - a| < varepsilon. Um exemplo de sequência convergente é (1n), que converge para 0.
b) Não, uma sequência limitada não garante que ela seja convergente. Um exemplo de sequência limitada e divergente é ((-1)^n).

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