Mostre que toda sequencia convergente é limitada e dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que tem duas partes: primeiro, mostrar que toda sequência que converge é limitada, e segundo, dar um exemplo de uma sequência que é limitada mas não converge (ou seja, divergente). Para isso, vamos usar os conceitos de sequência convergente e sequência limitada.
Passo 2
Vamos começar mostrando que uma sequência convergente é limitada. Por definição, uma sequência
converge para um limite
se, para todo
, existe um número
tal que para todo
, a diferença
.
Escolhamos
. Então, existe um número
tal que para todo
, temos:
Isso significa que os termos da sequência a partir de
estão entre
e
:
Agora, consideremos os primeiros
termos da sequência. Esses termos são finitos e, portanto, possuem algum valor máximo, digamos
.
Então, toda a sequência está limitada pelo maior valor entre
e
. Isso mostra que a sequência
é limitada.
Passo 3
Agora, vamos dar um exemplo de uma sequência que é limitada mas não converge, ou seja, que é divergente. Considere a sequência
.
Vamos analisar:
Essa sequência alterna entre -1 e 1. Ela é limitada porque todos os seus termos estão entre -1 e 1.
No entanto, ela não converge, pois não se aproxima de nenhum valor específico conforme
aumenta. Os termos continuam alternando indefinidamente entre -1 e 1, sem se estabilizarem em um único número.
Resposta
Mostramos que toda sequência convergente é limitada. Um exemplo de sequência limitada e divergente é
, que alterna entre -1 e 1 sem convergir para nenhum valor específico.