Mostre que toda sequencia convergente é limitada e dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que tem duas partes: primeiro, mostrar que toda sequência que converge é limitada, e segundo, dar um exemplo de uma sequência que é limitada mas não converge (ou seja, divergente). Para isso, vamos usar os conceitos de sequência convergente e sequência limitada.

Passo 2

Vamos começar mostrando que uma sequência convergente é limitada. Por definição, uma sequência converge para um limite se, para todo , existe um número tal que para todo , a diferença .
Escolhamos . Então, existe um número tal que para todo , temos:
Isso significa que os termos da sequência a partir de estão entre e :
Agora, consideremos os primeiros termos da sequência. Esses termos são finitos e, portanto, possuem algum valor máximo, digamos .
Então, toda a sequência está limitada pelo maior valor entre e . Isso mostra que a sequência é limitada.

Passo 3

Agora, vamos dar um exemplo de uma sequência que é limitada mas não converge, ou seja, que é divergente. Considere a sequência .
Vamos analisar:
Essa sequência alterna entre -1 e 1. Ela é limitada porque todos os seus termos estão entre -1 e 1.
No entanto, ela não converge, pois não se aproxima de nenhum valor específico conforme aumenta. Os termos continuam alternando indefinidamente entre -1 e 1, sem se estabilizarem em um único número.

Resposta

Mostramos que toda sequência convergente é limitada. Um exemplo de sequência limitada e divergente é , que alterna entre -1 e 1 sem convergir para nenhum valor específico.

Exercícios relacionados

Seja a sequência de números reais :
a) Defina matematicamente a expressão . Dê um exemplo de uma sequência que é convergente para um certo valor real a.
b) Se for limitada, podemos garantir que ela será convergente? Se sim, justifique. Se não, dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.
Encontre a série de Fourier da função dada.
Resp:
Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine seu período fundamental.
Seja a sequência de Fibonacci, observe que
onde é a raíz positiva da equação quadrática . Este fenômeno foi observado pelo astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630). O número é chamado a razão de ouro, que já era conhecida pelos gregos, ao menos dezesseis séculos antes de Fibonacci. Resolva os seguintes itens:
(a) Prove que .
(b) Podemos estimar a razão de ouro, usando o famoso método de Newton de aproximação das raízes da função quadrática . Com efeito, defina a fórmula recursiva
com o passo inicial.
i. Calcule as três póximas aproximações e , para a razão de ouro .
ii. Apresente uma conjectura para qualquer, em função dos números de Fibonacci. Prove tal conjectura, para todo .