Mostre que toda sequencia convergente é limitada e dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que tem duas partes: primeiro, mostrar que toda sequência que converge é limitada, e segundo, dar um exemplo de uma sequência que é limitada mas não converge (ou seja, divergente). Para isso, vamos usar os conceitos de sequência convergente e sequência limitada.

Passo 2

Vamos começar mostrando que uma sequência convergente é limitada. Por definição, uma sequência converge para um limite se, para todo , existe um número tal que para todo , a diferença .
Escolhamos . Então, existe um número tal que para todo , temos:
Isso significa que os termos da sequência a partir de estão entre e :
Agora, consideremos os primeiros termos da sequência. Esses termos são finitos e, portanto, possuem algum valor máximo, digamos .
Então, toda a sequência está limitada pelo maior valor entre e . Isso mostra que a sequência é limitada.

Passo 3

Agora, vamos dar um exemplo de uma sequência que é limitada mas não converge, ou seja, que é divergente. Considere a sequência .
Vamos analisar:
Essa sequência alterna entre -1 e 1. Ela é limitada porque todos os seus termos estão entre -1 e 1.
No entanto, ela não converge, pois não se aproxima de nenhum valor específico conforme aumenta. Os termos continuam alternando indefinidamente entre -1 e 1, sem se estabilizarem em um único número.

Resposta

Mostramos que toda sequência convergente é limitada. Um exemplo de sequência limitada e divergente é , que alterna entre -1 e 1 sem convergir para nenhum valor específico.

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