Encontre a série de Fourier da função dada

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a série de Fourier da função , definida no intervalo de a e que se repete com período . Isso está ligado ao estudo de séries de Fourier, que são uma maneira de representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar saber como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções ímpares, já que é uma função ímpar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que funções ímpares têm uma propriedade especial na série de Fourier: elas só possuem termos de seno, ou seja, apenas os coeficientes são diferentes de zero. Isso simplifica nosso trabalho, pois não precisamos nos preocupar com os coeficientes de cosseno .

Passo 3

A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo a fica assim:
Então, nosso objetivo é encontrar os coeficientes .

Passo 4

Para calcular os coeficientes , usamos a fórmula:
Note que, por ser uma função ímpar, podemos integrar de a e multiplicar por 2.

Passo 5

Substituindo na fórmula dos coeficientes, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 6

Para resolver a integral , usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula da integração por partes :

Passo 7

Vamos integrar :
Então, substituindo de volta na integração por partes:

Passo 8

Agora, precisamos avaliar a integral definida de a :
Calculando nos limites:
Para :
Porque .
Para :
Então, a integral fica:

Passo 9

Voltando ao cálculo de :
Sabemos que , então:

Passo 10

Agora, substituindo na série de Fourier, temos:
Podemos simplificar escrevendo fora da soma:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é dada por:

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