Encontre a série de Fourier da função
dada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a série de Fourier da função
, definida no intervalo de
a
e que se repete com período
. Isso está ligado ao estudo de séries de Fourier, que são uma maneira de representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar saber como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções ímpares, já que
é uma função ímpar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que funções ímpares têm uma propriedade especial na série de Fourier: elas só possuem termos de seno, ou seja, apenas os coeficientes
são diferentes de zero. Isso simplifica nosso trabalho, pois não precisamos nos preocupar com os coeficientes de cosseno
.
Passo 3
A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo
a
fica assim:
Então, nosso objetivo é encontrar os coeficientes
.
Passo 4
Para calcular os coeficientes
, usamos a fórmula:
Note que, por ser uma função ímpar, podemos integrar de
a
e multiplicar por 2.
Passo 5
Substituindo
na fórmula dos coeficientes, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 6
Para resolver a integral
, usamos integração por partes, onde:
-
→ -
→
Aplicando a fórmula da integração por partes
:
Passo 7
Vamos integrar
:
Então, substituindo de volta na integração por partes:
Passo 8
Agora, precisamos avaliar a integral definida de
a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Porque
.
Para
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Voltando ao cálculo de
:
Sabemos que
, então:
Passo 10
Agora, substituindo
na série de Fourier, temos:
Podemos simplificar escrevendo
fora da soma:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é dada por:
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