Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea que você me enviou:
Aqui estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, supomos uma solução da forma
e substituímos na equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Substituindo
, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é
, vamos supor que a solução particular seja da forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Agrupando os termos de
e
:
Passo 9
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais em ambos os lados:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Passo 10
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 11
Agora, encontrando
:
Passo 12
Então, a solução particular é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Encontre a série de Fourier da função
dada
Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e
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