Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea que você me enviou:
Aqui estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, supomos uma solução da forma e substituímos na equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Substituindo , temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é , vamos supor que a solução particular seja da forma:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Agrupando os termos de e :

Passo 9

Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e devem ser iguais em ambos os lados:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .

Passo 10

Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 11

Agora, encontrando :

Passo 12

Então, a solução particular é:

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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