Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea
com as condições iniciais
e
. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da não homogênea. Depois, usaremos as condições iniciais para determinar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral para resolver é assumir uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
, temos:
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea
. Como o termo não homogêneo é uma constante (
), vamos assumir que a solução particular também seja uma constante:
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 6
Substituindo
na equação diferencial:
Resolvendo para
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com a solução particular:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Passo 9
Em seguida, derivamos
para encontrar
:
Aplicamos a condição
:
Passo 10
Agora temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda da primeira:
Passo 11
Substituindo
e
na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Encontre a série de Fourier da função
dada
Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
.
Resolva as equações diferenciais de segunda ordem com as seguintes condições iniciais:
e
.
b) Para qual valor de
teremos a reta
como assíntota horizontal?