Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea com as condições iniciais e . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da não homogênea. Depois, usaremos as condições iniciais para determinar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral para resolver é assumir uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação característica , temos:
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea . Como o termo não homogêneo é uma constante ( ), vamos assumir que a solução particular também seja uma constante: , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 6

Substituindo na equação diferencial:
Resolvendo para :
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com a solução particular:

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, aplicamos :

Passo 9

Em seguida, derivamos para encontrar :
Aplicamos a condição :

Passo 10

Agora temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda da primeira:

Passo 11

Substituindo e na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

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Encontre a série de Fourier da função dada
Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
.
Resolva as equações diferenciais de segunda ordem com as seguintes condições iniciais:
e .
b) Para qual valor de teremos a reta como assíntota horizontal?