Resolva o problema de valor inicial.
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial do tipo:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais de primeira ordem, métodos de resolução de equações exatas.
O que vamos precisar para resolver:
  • Identificar se a equação é exata.
  • Encontrar uma função potencial que satisfaça a condição da exatidão.
  • Aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Vamos reescrever a equação diferencial de forma mais conveniente, colocando todos os termos em um lado:
Podemos reorganizar isso como:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.
Teoria aplicada: Uma equação diferencial da forma é exata se .

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Comparando os dois lados:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :
Como a equação é exata, a solução geral é dada por:
Portanto:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para determinar a constante .
Substituindo e na equação:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
.
Encontre a série de Fourier da função dada