Resolva o problema de valor inicial.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial do tipo:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais de primeira ordem, métodos de resolução de equações exatas.
O que vamos precisar para resolver:
- Identificar se a equação é exata.
- Encontrar uma função potencial que satisfaça a condição da exatidão.
- Aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.
Passo 2
Vamos reescrever a equação diferencial de forma mais conveniente, colocando todos os termos em um lado:
Podemos reorganizar isso como:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Teoria aplicada: Uma equação diferencial da forma
é exata se
.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando os dois lados:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
Como a equação é exata, a solução geral é dada por:
Portanto:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para determinar a constante
.
Substituindo
e
na equação:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
.
Encontre a série de Fourier da função
dada