Resolva as equações diferenciais de segunda ordem com as seguintes condições iniciais:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é
com as condições iniciais
e
. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar as raízes da equação característica, montar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial, que é
:
Passo 6
Agora, vamos derivar a solução geral para aplicar a segunda condição inicial
. A derivada de
é:
Aplicando
:
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos
:
Substituindo na segunda equação:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e
.
Encontre a série de Fourier da função
dada
b) Para qual valor de
teremos a reta
como assíntota horizontal?
Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e
.