Resolva as equações diferenciais de segunda ordem com as seguintes condições iniciais:
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é com as condições iniciais e . A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar as raízes da equação característica, montar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma , a equação característica é . No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas ( e ), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial, que é :

Passo 6

Agora, vamos derivar a solução geral para aplicar a segunda condição inicial . A derivada de é:
Aplicando :

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos :
Substituindo na segunda equação:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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e .
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e .