Exercício 2.23. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de f sujeitos aos vínculos indicados.
(d) f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 sujeito ao vínculo x + y + z = 25;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os valores máximos ou mínimos da função sob a condição de que . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, geralmente representado por . A função de Lagrange fica assim:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , , e , e igualá-las a zero:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações obtido:
Das três primeiras equações:
Isso implica que .
Substituindo na restrição:
Então:

Resposta

Os extremos da função são alcançados em .

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a d x/d t = x t
Um dos modelos de crescimento populacional mais conhecidos é do economista inglês Thomas Malthus, apresentado em 1798. O modelo malthusiano pressupõe que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à população total do país naquele instante. Matematicamente, se P(t) é a população total no instante t, então, o modelo contínuo de Malthus é:
dP/dt = k P
onde k é uma constante de crescimento. Determine a função P(t) que descreve a população no instante t para esse modelo.
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f(x) = 1, -pi < x < pi