Exercício 2.23. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de
sujeitos aos vínculos indicados.
(d)
sujeito ao vínculo
;
(d)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os valores máximos ou mínimos da função
sob a condição de que
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador, geralmente representado por
. A função de Lagrange fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
, e igualá-las a zero:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações obtido:
Das três primeiras equações:
Isso implica que
.
Substituindo na restrição:
Então:
Resposta
Os extremos da função são alcançados em
.
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é a população total no instante t, então, o modelo contínuo de Malthus é:
onde
é uma constante de crescimento. Determine a função
que descreve a população no instante
para esse modelo.
Encontre a série de Fourier para as funções periódicas nos intervalos especificados.