Encontre a série de Fourier para as funções periódicas nos intervalos especificados.
f(x) = { 0 se -3 < x < -1, 1 se -1 < x < 1, 0 se 1 < x < 3 }

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a série de Fourier da função periódica definida por:
Conteúdo da matéria: Série de Fourier para funções periódicas.
O que precisamos: Conhecer a definição de série de Fourier para funções periódicas, entender como calcular os coeficientes , e , e aplicar as fórmulas integrando nos intervalos especificados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando os intervalos dados, vemos que a função se repete a cada 4 unidades (de -3 a 3), então o período é 4.
O coeficiente fundamental angular é dado por:

Passo 3

Como a função é par, ou seja, , a série de Fourier simplifica-se pois todos os coeficientes (síncios) serão zero. Portanto, a série de Fourier terá apenas termos de cosseno:

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período:
Observando a definição de entre -2 e 2:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Devido à paridade da função, podemos simplificar integrando de 0 a 2 e multiplicando por 2:
Dentro de 0 a 2, é:
Então,
Calculando a integral:

Passo 6

Observando , vemos que ela assume valores alternados dependendo de :
  • Para ímpar ( ):
    • E assim por diante.
  • Para par:
    • E assim por diante.
Portanto, os coeficientes serão zero para par e alternarão entre positivo e negativo para ímpar.
Expressando isso de forma geral, usando (onde ):

Resposta

A série de Fourier da função periódica dada é:

Exercícios relacionados