Encontre a série de Fourier para as funções periódicas nos intervalos especificados.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a série de Fourier da função periódica definida por:
Conteúdo da matéria: Série de Fourier para funções periódicas.
O que precisamos: Conhecer a definição de série de Fourier para funções periódicas, entender como calcular os coeficientes , e , e aplicar as fórmulas integrando nos intervalos especificados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando os intervalos dados, vemos que a função se repete a cada 4 unidades (de -3 a 3), então o período é 4.
O coeficiente fundamental angular é dado por:
Passo 3
Como a função é par, ou seja, , a série de Fourier simplifica-se pois todos os coeficientes (síncios) serão zero. Portanto, a série de Fourier terá apenas termos de cosseno:
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período:
Observando a definição de entre -2 e 2:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Devido à paridade da função, podemos simplificar integrando de 0 a 2 e multiplicando por 2:
Dentro de 0 a 2, é:
Então,
Calculando a integral:
Passo 6
Observando , vemos que ela assume valores alternados dependendo de :
Para ímpar ():
E assim por diante.
Para par:
E assim por diante.
Portanto, os coeficientes serão zero para par e alternarão entre positivo e negativo para ímpar.