Exercício 2.23. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de
sujeitos aos vínculos indicados.
(e)
sujeito ao vínculo
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os extremos da função
considerando o vínculo
. Isso está relacionado ao conteúdo de Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica usada para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Para resolver, vamos precisar configurar as equações de Lagrange e resolver o sistema resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam os multiplicadores de Lagrange. Para uma função
sujeita a uma restrição
, introduzimos um multiplicador
e resolvemos o sistema das derivadas parciais:
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes de
e
:
Passo 4
Segundo a condição dos multiplicadores de Lagrange, temos:
E a restrição:
Passo 5
Agora, vamos expressar
em termos de
e
:
Também, de
:
Passo 6
Substituímos
e
na restrição
:
Passo 7
Com
, encontramos
e
:
Resposta
Os extremos da função
sujeitos ao vínculo
ocorrem no ponto
.