Exercício 2.23. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de f sujeitos aos vínculos indicados.
(e) f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 sujeito ao vínculo x - y + z = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os extremos da função considerando o vínculo . Isso está relacionado ao conteúdo de Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica usada para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Para resolver, vamos precisar configurar as equações de Lagrange e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam os multiplicadores de Lagrange. Para uma função sujeita a uma restrição , introduzimos um multiplicador e resolvemos o sistema das derivadas parciais:
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos calcular os gradientes de e :

Passo 4

Segundo a condição dos multiplicadores de Lagrange, temos:
E a restrição:

Passo 5

Agora, vamos expressar em termos de e :
Também, de :

Passo 6

Substituímos e na restrição :

Passo 7

Com , encontramos e :

Resposta

Os extremos da função sujeitos ao vínculo ocorrem no ponto .

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