Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
, em senos, período
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Fourier em senos para a função
no intervalo
com período
. Isso significa que vamos representar essa função constante usando uma soma de funções senoidais. Para isso, vamos precisar entender como construir a série de Fourier senoidal e calcular os coeficientes certos.
Passo 2
Primeiro, como estamos trabalhando apenas com senos, estamos buscando a série de Fourier do tipo seno, que é usada para funções ímpares ou quando queremos representar funções definidas em um intervalo específico, aqui de
a
.
A série de Fourier senoidal para uma função
definida em
e estendida de forma ímpar para todo o período
é dada por:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
. A fórmula para
na série de Fourier senoidal é:
Como
nesse intervalo, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular essa integral. A integral de
é:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 5
Sabemos que
, então substituindo:
Isso simplifica para:
- Se
é par, - Se
é ímpar,
Então, apenas os termos ímpares contribuem para a série.
Passo 6
Portanto, podemos reescrever
para
ímpar, ou seja,
, onde
é inteiro não negativo:
Passo 7
Finalmente, substituindo os coeficientes na série de Fourier, temos:
Resposta
A série de Fourier senoidal para a função
no intervalo
e período
é:
Ou, de forma geral:
Exercícios relacionados
Para a função
dada em
encontre suas extensões
-periódicas: par
e ímpar
.
Determine se
é par ou ímpar ou nenhuma das duas.
;
Determine se
é par ou ímpar ou nenhuma das duas.
;
Determine se
é par ou ímpar ou nenhuma das duas.
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