Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
, em senos, período ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Fourier em senos para a função no intervalo com período . Isso significa que vamos representar essa função constante usando uma soma de funções senoidais. Para isso, vamos precisar entender como construir a série de Fourier senoidal e calcular os coeficientes certos.

Passo 2

Primeiro, como estamos trabalhando apenas com senos, estamos buscando a série de Fourier do tipo seno, que é usada para funções ímpares ou quando queremos representar funções definidas em um intervalo específico, aqui de a .
A série de Fourier senoidal para uma função definida em e estendida de forma ímpar para todo o período é dada por:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os coeficientes . A fórmula para na série de Fourier senoidal é:
Como nesse intervalo, a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular essa integral. A integral de é:
Aplicando os limites de a :

Passo 5

Sabemos que , então substituindo:
Isso simplifica para:
  • Se é par,
  • Se é ímpar,
Então, apenas os termos ímpares contribuem para a série.

Passo 6

Portanto, podemos reescrever para ímpar, ou seja, , onde é inteiro não negativo:

Passo 7

Finalmente, substituindo os coeficientes na série de Fourier, temos:

Resposta

A série de Fourier senoidal para a função no intervalo e período é:
Ou, de forma geral:

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Para a função dada em encontre suas extensões -periódicas: par e ímpar .
Determine se é par ou ímpar ou nenhuma das duas.
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