Para a função f(x) dada em [0, L] encontre suas extensões 2 L-periódicas: par g(x) e ímpar h(x).
f(x) = { x, 0 <= x < 2; 1, 2 <= x <= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função definida no intervalo e precisa encontrar as suas extensões periódicas de período que sejam funções pares e ímpares . Isso envolve entender conceitos de funções pares e ímpares, além de como estender uma função para que ela se repita periodicamente. Vamos precisar usar definições de simetria e periodicidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função par e uma função ímpar:
  • Função Par ( ): É simétrica em relação ao eixo y. Ou seja, .
  • Função Ímpar ( ): Tem simetria central em relação à origem. Ou seja, .
Como queremos extensões com período , isso significa que a função se repete a cada unidades no eixo x.

Passo 3

Vamos identificar o valor de . Observando a definição de , ela está definida de 0 a 3. Portanto, e o período das extensões será .

Passo 4

Agora, vamos construir a extensão par :
  1. Definição no intervalo :
  2. Definição no intervalo usando a paridade: Então, para :
  3. Extensão para todo o eixo x com período 6: Isso significa que a função se repete a cada 6 unidades.

Passo 5

Agora, vamos construir a extensão ímpar :
  1. Definição no intervalo :
  2. Definição no intervalo usando a imparidade: Então, para :
  3. Extensão para todo o eixo x com período 6: Assim, a função também se repete a cada 6 unidades.

Resposta

As extensões -periódicas de são:
  • Função Par :
  • Função Ímpar :
Isso significa que é simétrica em relação ao eixo y e se repete a cada 6 unidades, enquanto é simétrica em relação à origem e também é periódica com período 6.

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