Para a função dada em encontre suas extensões -periódicas: par e ímpar .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função definida no intervalo e precisa encontrar as suas extensões periódicas de período que sejam funções pares e ímpares . Isso envolve entender conceitos de funções pares e ímpares, além de como estender uma função para que ela se repita periodicamente. Vamos precisar usar definições de simetria e periodicidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função par e uma função ímpar:
Função Par (): É simétrica em relação ao eixo y. Ou seja, .
Função Ímpar (): Tem simetria central em relação à origem. Ou seja, .
Como queremos extensões com período , isso significa que a função se repete a cada unidades no eixo x.
Passo 3
Vamos identificar o valor de . Observando a definição de , ela está definida de 0 a 3. Portanto, e o período das extensões será .
Passo 4
Agora, vamos construir a extensão par :
Definição no intervalo :
Definição no intervalo usando a paridade:Então, para :
Extensão para todo o eixo x com período 6:Isso significa que a função se repete a cada 6 unidades.
Passo 5
Agora, vamos construir a extensão ímpar :
Definição no intervalo :
Definição no intervalo usando a imparidade:Então, para :
Extensão para todo o eixo x com período 6:Assim, a função também se repete a cada 6 unidades.
Resposta
As extensões -periódicas de são:
Função Par :
Função Ímpar :
Isso significa que é simétrica em relação ao eixo y e se repete a cada 6 unidades, enquanto é simétrica em relação à origem e também é periódica com período 6.