Encontre a série de Fourier em senos e cossenos e simplifique as equações das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier! O enunciado pede para encontrar a série de Fourier em senos e cossenos para a função dada. A série de Fourier é uma forma de representar funções periódicas usando somas de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série e aplicar isso na função fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando o enunciado, vemos que a função é definida no intervalo de a , então o período é (porque ). Isso significa que a função se repete a cada unidades.

Passo 3

A fórmula geral da série de Fourier em termos de senos e cossenos é:
onde .

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente , que é dado por:
Substituindo e integrando a função no intervalo de a :

Passo 5

Vamos resolver as integrais:
Para :
Para :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Essas integrais envolvem cálculo por partes e, após resolver, encontramos que devido à simetria da função.

Passo 7

Vamos calcular agora os coeficientes :
Substituindo :
Após resolver essas integrais, obtemos:

Passo 8

Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier da função é:

Resposta

A série de Fourier simplificada da função é:

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