Encontre a série de Fourier em senos e cossenos e simplifique as equações das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Fourier em senos e cossenos da função
no intervalo
. Isso envolve entender a série de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas usando senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier que correspondem aos termos de seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série de Fourier para uma função
no intervalo
é dada por:
Aqui,
é o termo constante,
são os coeficientes dos cossenos e
são os coeficientes dos senos.
Passo 3
Observamos que a função
é uma função ímpar, ou seja,
. Para funções ímpares, os coeficientes
e
(dos cossenos) são iguais a zero. Portanto, a série de Fourier simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
em funções ímpares é:
Substituindo
:
Passo 5
Resolvemos a integral:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde
e
. Calculando
e
, temos:
Calculando a segunda integral:
Substituindo de volta:
Aplicando os limites de 0 a
:
Substituindo
:
E substituindo
:
Sabemos que
e
, então:
Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos
na série de Fourier:
Resposta
A série de Fourier em senos para a função
no intervalo
é:
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