Encontre a série de Fourier em senos e cossenos e simplifique as equações das seguintes funções:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Fourier em senos e cossenos da função no intervalo . Isso envolve entender a série de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas usando senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier que correspondem aos termos de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de Fourier para uma função no intervalo é dada por:
Aqui, é o termo constante, são os coeficientes dos cossenos e são os coeficientes dos senos.

Passo 3

Observamos que a função é uma função ímpar, ou seja, . Para funções ímpares, os coeficientes e (dos cossenos) são iguais a zero. Portanto, a série de Fourier simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para em funções ímpares é:
Substituindo :

Passo 5

Resolvemos a integral:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde e . Calculando e , temos:
Calculando a segunda integral:
Substituindo de volta:
Aplicando os limites de 0 a :
Substituindo :
E substituindo :
Sabemos que e , então:
Portanto:

Passo 6

Agora, substituímos na série de Fourier:

Resposta

A série de Fourier em senos para a função no intervalo é:

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