Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício de encontrar os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função no intervalo . Isso faz parte da matéria de séries de Fourier, onde a gente decompõe funções periódicas em séries de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a expansão em série de Fourier e como aplicá-la para funções definidas em meio-intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para expandir uma função em série de Fourier em termos de cossenos (série de Fourier cosseno) ou senos (série de Fourier seno), a função precisa ser estendida além do intervalo dado para tornar-se periódica. No caso do meio-intervalo, usamos extensões par e ímpar da função.

Passo 3

Vamos começar com a série de Fourier cosseno. Para isso, fazemos uma extensão par da função no intervalo . Isso significa que refletimos a função em torno do eixo , definindo . A série de Fourier resultante só terá termos de cossenos.

Passo 4

A fórmula geral para os coeficientes da série de Fourier cosseno é:
Onde no nosso caso. Vamos calcular e .

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora, calculando :
Usando a identidade trigonométrica:
Temos:

Passo 7

Integrando:
Ao avaliar nos limites, e simplificando, obtemos:
Dependendo do valor de , algumas dessas funções seno simplificam, mas para manter geral, deixamos a expressão assim.

Passo 8

Assim, a série de Fourier cosseno para no intervalo fica:

Resposta

A expansão em série de Fourier cosseno para a função no intervalo é:
Essa série representa a função original como uma soma infinita de termos de cosseno, cada um com um coeficiente específico .

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