Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício de encontrar os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função
no intervalo
. Isso faz parte da matéria de séries de Fourier, onde a gente decompõe funções periódicas em séries de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a expansão em série de Fourier e como aplicá-la para funções definidas em meio-intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para expandir uma função em série de Fourier em termos de cossenos (série de Fourier cosseno) ou senos (série de Fourier seno), a função precisa ser estendida além do intervalo dado para tornar-se periódica. No caso do meio-intervalo, usamos extensões par e ímpar da função.
Passo 3
Vamos começar com a série de Fourier cosseno. Para isso, fazemos uma extensão par da função
no intervalo
. Isso significa que refletimos a função em torno do eixo
, definindo
. A série de Fourier resultante só terá termos de cossenos.
Passo 4
A fórmula geral para os coeficientes da série de Fourier cosseno é:
Onde
no nosso caso. Vamos calcular
e
.
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, calculando
:
Usando a identidade trigonométrica:
Temos:
Passo 7
Integrando:
Ao avaliar nos limites, e simplificando, obtemos:
Dependendo do valor de
, algumas dessas funções seno simplificam, mas para manter geral, deixamos a expressão assim.
Passo 8
Assim, a série de Fourier cosseno para
no intervalo
fica:
Resposta
A expansão em série de Fourier cosseno para a função
no intervalo
é:
Essa série representa a função original como uma soma infinita de termos de cosseno, cada um com um coeficiente específico
.
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