Nos Problemas 25-34, determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a funçã dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para determinarmos os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com séries de Fourier, especificamente expansões em senos e cossenos. Isso envolve decompor funções periódicas em uma soma de funções senoidais ou cossenoidais.
O que vamos precisar: Vamos precisar entender como calcular os coeficientes de Fourier para as séries de seno e cosseno e aplicar essas fórmulas passo a passo para a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fazer um desenvolvimento em senos e cossenos. As séries de Fourier expressam uma função periódica como a soma de senos e cossenos com diferentes frequências e amplitudes. Nesse caso, como temos um meio-intervalo, vamos considerar o intervalo de a .

Passo 3

Vamos começar determinando a série de Fourier em cossenos para . A série de cossenos é útil quando a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo y. Mesmo que não seja necessariamente par, podemos proceder com a expansão.
A série de cossenos tem a forma:
onde é o comprimento do intervalo (nesse caso, ) e os coeficientes são dados por:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes para . Primeiro, calculamos :
Calculando as integrais:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para :
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Primeiro, a integral :
Usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando a segunda integral:
Portanto,
Agora, avaliamos de a :
Substituindo :
Substituindo :
Portanto, a primeira integral fica:

Passo 7

Agora, a segunda integral :
Avaliando de a :
Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, juntando as duas integrais para calcular :
Simplificando:

Passo 9

Agora, podemos escrever a série de cossenos para :

Passo 10

Para a série de senos, como não é uma função ímpar, os coeficientes serão calculados, mas devido à simetria da função, muitos termos podem se anular. O processo seria semelhante, calculando:
Mas, para simplificar, vamos focar na série de cossenos que já obtivemos.

Resposta

A expansão em série de cossenos para a função no meio-intervalo é dada por:

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