Seja . Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada parcial terceira de em relação a duas vezes e depois em relação a . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, aplicando regras de derivação para funções exponenciais, polinomiais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Lembre-se que ao derivar em relação a , tratamos e como constantes.
Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Para , usamos a regra da cadeia:
  1. Para :
  1. Para , usamos a regra da derivada do logaritmo:
Então, a primeira derivada parcial é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, derivar novamente em relação a :
Derivando cada termo:
  1. Para , usamos a regra do produto e da cadeia:
  1. Para :
  1. Para :
Então, a segunda derivada parcial é:

Passo 4

Finalmente, vamos calcular a derivada parcial da segunda derivada em relação a :
Derivando cada termo:
  1. Para , usamos a regra do produto e da cadeia:
  1. Para , a derivada em relação a é zero, já que não depende de .
  2. Para , a derivada em relação a também é zero.
Então, a terceira derivada parcial é:

Resposta

A derivada parcial terceira de é:

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de ordem das seguintes funções:
Encontre a série de Fourrier da função dada.
(b)
Seja . Calcule:
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
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