Seja f(x, y, z)=e^x y z+3 x^2 z+ln (x y^2). Calcule: partial^3 fpartial x^2 partial y(x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada parcial terceira de em relação a duas vezes e depois em relação a . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, aplicando regras de derivação para funções exponenciais, polinomiais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x(e^xyz) + partialpartial x(3x^2z) + partialpartial x(ln(xy^2)) em relação a partialpartial x(e^xyz) = yz cdot e^xyz . Lembre-se que ao derivar em relação a partialpartial x(3x^2z) = 6xz , tratamos partialpartial x(ln(xy^2)) = 1xy^2 cdot y^2 = 1x e partial fpartial x = yz cdot e^xyz + 6xz + 1x como constantes.
Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Para , usamos a regra da cadeia:
  1. Para :
  1. Para , usamos a regra da derivada do logaritmo:
Então, a primeira derivada parcial é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x(yz cdot e^xyz + 6xz + 1x) em relação a partialpartial x(yz cdot e^xyz) = yz cdot (yz) cdot e^xyz = y^2z^2 cdot e^xyz , ou seja, derivar novamente partialpartial x(6xz) = 6z em relação a partialpartial x(1x) = -1x^2 :
partial^2 fpartial x^2 = y^2z^2 cdot e^xyz + 6z - 1x^2
Derivando cada termo:
  1. Para , usamos a regra do produto e da cadeia:
  1. Para :
  1. Para :
Então, a segunda derivada parcial é:

Passo 4

Finalmente, vamos calcular a derivada parcial da segunda derivada em relação a partial^3 fpartial x^2 partial y = partialpartial y(y^2z^2 cdot e^xyz + 6z - 1x^2) :
partialpartial y(y^2z^2 cdot e^xyz) = 2yz^2 cdot e^xyz + y^2z^3 cdot e^xyz = e^xyz(2yz^2 + y^2z^3)
Derivando cada termo:
  1. Para partial^3 fpartial x^2 partial y = e^xyz(2yz^2 + y^2z^3) , usamos a regra do produto e da cadeia:
  1. Para , a derivada em relação a é zero, já que não depende de .
  2. Para , a derivada em relação a também é zero.
Então, a terceira derivada parcial é:

Resposta

A derivada parcial terceira de partial^3 fpartial x^2 partial y = e^xyz(2yz^2 + y^2z^3) é:

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