Seja
. Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada parcial terceira de
em relação a
duas vezes e depois em relação a
. Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, aplicando regras de derivação para funções exponenciais, polinomiais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes.
Vamos derivar cada termo separadamente:
- Para
, usamos a regra da cadeia:
- Para
:
- Para
, usamos a regra da derivada do logaritmo:
Então, a primeira derivada parcial é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja, derivar novamente
em relação a
:
Derivando cada termo:
- Para
, usamos a regra do produto e da cadeia:
- Para
:
- Para
:
Então, a segunda derivada parcial é:
Passo 4
Finalmente, vamos calcular a derivada parcial da segunda derivada em relação a
:
Derivando cada termo:
- Para
, usamos a regra do produto e da cadeia:
-
Para
, a derivada em relação a é zero, já que não depende de . -
Para
, a derivada em relação a também é zero.
Então, a terceira derivada parcial é:
Resposta
A derivada parcial terceira de
é: