Encontre a série de Maclaurin para f e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de uma série de Maclaurin) ou séries conhecidas, como a série geométrica, a série binomial ou a série de f(x) = sen(x^4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Maclaurin para a função e também determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a série de Maclaurin para a função seno e como substituir termos dentro dessa série. Basicamente, vamos usar uma série que já conhecemos e adaptá-la para a nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Agora, para a função seno, temos uma série de Maclaurin conhecida:
Essa série expande o seno em termos de potências ímpares de .

Passo 3

Agora, queremos adaptar essa série para a nossa função . Observa que, ao invés de , temos dentro do seno. Isso significa que vamos substituir por na série de Maclaurin da função seno. Então, fazemos a substituição:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
Isso significa que a série de Maclaurin para é formada por termos de potências de que aumentam de 8 em 8, começando em . Escrevendo alguns termos, fica assim:

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de Maclaurin para converge para todo real, ou seja, o raio de convergência é infinito. Como substituímos apenas por na série, o comportamento de convergência se mantém o mesmo. Portanto, a série de Maclaurin para também tem raio de convergência infinito.

Resposta

A série de Maclaurin para é:
O raio de convergência dessa série é infinito, ou seja, a série converge para qualquer valor de .

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