Encontre a série de Maclaurin para
e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de uma série de Maclaurin) ou séries conhecidas, como a série geométrica, a série binomial ou a série de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Maclaurin para a função
e também determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a série de Maclaurin para a função seno e como substituir termos dentro dessa série. Basicamente, vamos usar uma série que já conhecemos e adaptá-la para a nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função
é:
Agora, para a função seno, temos uma série de Maclaurin conhecida:
Essa série expande o seno em termos de potências ímpares de
.
Passo 3
Agora, queremos adaptar essa série para a nossa função
. Observa que, ao invés de
, temos
dentro do seno. Isso significa que vamos substituir
por
na série de Maclaurin da função seno. Então, fazemos a substituição:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
Isso significa que a série de Maclaurin para
é formada por termos de potências de
que aumentam de 8 em 8, começando em
. Escrevendo alguns termos, fica assim:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de Maclaurin para
converge para todo
real, ou seja, o raio de convergência é infinito. Como substituímos apenas
por
na série, o comportamento de convergência se mantém o mesmo. Portanto, a série de Maclaurin para
também tem raio de convergência infinito.
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
O raio de convergência dessa série é infinito, ou seja, a série converge para qualquer valor de
.