Encontre a série de Maclaurin de e diga qual o raio de convergência. (sugestão, use a série binomial) Em usando os coeficientes binomiais, defina os mesmos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a série de Maclaurin dela. A série de Maclaurin é uma expansão em série de potências centrada em . Para resolver isso, vamos usar a série binomial, que nos ajuda a expandir expressões desse tipo. Também precisamos determinar o raio de convergência, que indica até onde a série é válida.
Passo 2
A série binomial para uma expressão do tipo é dada por:
onde são os coeficientes binomiais, definidos por:
No nosso caso, queremos reescrever na forma .
Passo 3
Vamos reescrever como:
Aqui, e .
Passo 4
Aplicando a série binomial, temos:
Agora, precisamos calcular alguns termos para termos uma ideia da série.
Passo 5
Calculando os primeiros coeficientes binomiais:
E assim por diante.
Passo 6
Substituindo esses coeficientes na série, temos:
Simplificando os termos:
Passo 7
Para encontrar o raio de convergência da série binomial, usamos a condição: