Encontre a série de Maclaurin de f(x) = raiz(1 - x/5) e diga qual o raio de convergência. (sugestão, use a série binomial) Em usando os coeficientes binomiais, defina os mesmos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a série de Maclaurin dela. A série de Maclaurin é uma expansão em série de potências centrada em . Para resolver isso, vamos usar a série binomial, que nos ajuda a expandir expressões desse tipo. Também precisamos determinar o raio de convergência, que indica até onde a série é válida.

Passo 2

A série binomial para uma expressão do tipo é dada por:
onde são os coeficientes binomiais, definidos por:
No nosso caso, queremos reescrever na forma .

Passo 3

Vamos reescrever como:
Aqui, e .

Passo 4

Aplicando a série binomial, temos:
Agora, precisamos calcular alguns termos para termos uma ideia da série.

Passo 5

Calculando os primeiros coeficientes binomiais:
E assim por diante.

Passo 6

Substituindo esses coeficientes na série, temos:
Simplificando os termos:

Passo 7

Para encontrar o raio de convergência da série binomial, usamos a condição:
Então, o raio de convergência é 5.

Resposta

A série de Maclaurin de é:
E o raio de convergência dessa série é 5.

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