Dê uma sequência (a_n)_{n ∈ N} que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo. (a_n)_{n ∈ N} cuja série é condicionalmente convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma sequência cujos séries sejam condicionalmente convergentes. Isso está no campo de Cálculo, mais especificamente em Séries Numéricas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma série ser condicionalmente convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série condicionalmente convergente. Uma série é dita condicionalmente convergente quando ela converge, mas a série dos seus valores absolutos não converge. Isso é diferente de uma série absolutamente convergente, onde também converge.

Passo 3

Um exemplo clássico de série condicionalmente convergente é a série harmônica alternada. Vamos construir essa sequência!

Passo 4

A série harmônica alternada é definida por:
Aqui, o termo faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo.

Passo 5

Vamos ver por que essa série é condicionalmente convergente:
  1. Convergência: Pelo Teste da Série Alternada, se os termos são decrescentes e tendem a zero, então a série converge. De fato, é decrescente e tende a zero quando vai para o infinito.
  2. Divergência da série dos valores absolutos: A série é a série harmônica, que não converge.

Passo 6

Então, a sequência que estamos procurando é:
Essa sequência garante que a série seja condicionalmente convergente.

Resposta

Uma sequência que satisfaz o enunciado é:
Essa série é condicionalmente convergente.

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