Dê uma sequência
que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo.
cuja série é condicionalmente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma sequência
cujos séries sejam condicionalmente convergentes. Isso está no campo de Cálculo, mais especificamente em Séries Numéricas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma série ser condicionalmente convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série condicionalmente convergente. Uma série
é dita condicionalmente convergente quando ela converge, mas a série dos seus valores absolutos
não converge. Isso é diferente de uma série absolutamente convergente, onde
também converge.
Passo 3
Um exemplo clássico de série condicionalmente convergente é a série harmônica alternada. Vamos construir essa sequência!
Passo 4
A série harmônica alternada é definida por:
Aqui, o termo
faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo.
Passo 5
Vamos ver por que essa série é condicionalmente convergente:
- Convergência: Pelo Teste da Série Alternada, se os termos
são decrescentes e tendem a zero, então a série converge. De fato, é decrescente e tende a zero quando vai para o infinito. - Divergência da série dos valores absolutos: A série
é a série harmônica, que não converge.
Passo 6
Então, a sequência que estamos procurando é:
Essa sequência garante que a série
seja condicionalmente convergente.
Resposta
Uma sequência que satisfaz o enunciado é:
Essa série é condicionalmente convergente.