Represente as raízes oitavas de 2^8 no plano complexo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que representar as raízes oitavas de 2^8 no plano complexo. Isso envolve trabalhar com números complexos e suas raízes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar as raízes de um número complexo usando a forma polar e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 2^8. Sabemos que . Então, nossa tarefa é encontrar todos os números complexos z que, quando elevados à oitava potência, resultam em 256. Ou seja, queremos resolver a equação .

Passo 3

Para encontrar as raízes de uma equação desse tipo no plano complexo, é útil representar o número 256 na forma polar. No plano complexo, qualquer número pode ser escrito como , onde r é o módulo (ou magnitude) e theta é o argumento (ou ângulo).
Como 256 é um número real positivo, sua forma polar é bem simples:

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula de De Moivre para encontrar as raízes oitavas. A fórmula diz que as raízes n-ésimas de um número complexo são dadas por:
onde .
No nosso caso, , , e . Então:

Passo 5

Calculando a raiz oitava de 256:
Então, nossas raízes ficam:
Isso significa que temos oito raízes igualmente espaçadas ao redor de um círculo de raio 2 no plano complexo, com um ângulo de pi/4 (45 graus) entre elas.

Resposta

As raízes oitavas de 2^8 no plano complexo são dadas por:

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