Represente as raízes oitavas de
no plano complexo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que representar as raízes oitavas de
no plano complexo. Isso envolve trabalhar com números complexos e suas raízes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar as raízes de um número complexo usando a forma polar e a fórmula de De Moivre.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
. Então, nossa tarefa é encontrar todos os números complexos
que, quando elevados à oitava potência, resultam em 256. Ou seja, queremos resolver a equação
.
Passo 3
Para encontrar as raízes de uma equação desse tipo no plano complexo, é útil representar o número 256 na forma polar. No plano complexo, qualquer número pode ser escrito como
, onde
é o módulo (ou magnitude) e
é o argumento (ou ângulo).
Como 256 é um número real positivo, sua forma polar é bem simples:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula de De Moivre para encontrar as raízes oitavas. A fórmula diz que as raízes
-ésimas de um número complexo
são dadas por:
onde
.
No nosso caso,
,
, e
. Então:
Passo 5
Calculando a raiz oitava de 256:
Então, nossas raízes ficam:
Isso significa que temos oito raízes igualmente espaçadas ao redor de um círculo de raio 2 no plano complexo, com um ângulo de
(45 graus) entre elas.
Resposta
As raízes oitavas de
no plano complexo são dadas por: