Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado. sumn=1^infty raizn^3+22 n^2+n+1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Esse assunto faz parte do estudo de séries infinitas, e vamos precisar usar o Teste da Comparação para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando raizn^3+22 n^2+n+1 cresce. O termo geral da série é:
n^3/22n^2 = 12n^1/2
Para simplificar, observamos como cada parte se comporta quando é muito grande:
  • No numerador:
  • No denominador:
Então, para grande, o termo se aproxima de:

Passo 3

Agora, comparamos nossa série com uma série p, que tem a forma . Sabemos que uma série p converge se e diverge se .
No nosso caso, o termo comparativo é , que corresponde a . Como , a série p associada diverge.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação, já que nossa série se comporta como uma série p divergente para grande, podemos concluir que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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