Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Esse assunto faz parte do estudo de séries infinitas, e vamos precisar usar o Teste da Comparação para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando
cresce. O termo geral da série é:
Para simplificar, observamos como cada parte se comporta quando
é muito grande:
- No numerador:
- No denominador:
Então, para
grande, o termo se aproxima de:
Passo 3
Agora, comparamos nossa série com uma série p, que tem a forma
. Sabemos que uma série p converge se
e diverge se
.
No nosso caso, o termo comparativo é
, que corresponde a
. Como
, a série p associada diverge.
Passo 4
Pelo Teste da Comparação, já que nossa série se comporta como uma série p divergente para
grande, podemos concluir que a série original também diverge.
Resposta
A série diverge.