Encontre a série de Maclaurin de usando a definição de uma série de Maclaurin. Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Maclaurin da função usando a definição dessa série. Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. A série de Maclaurin é uma representação de uma função como uma soma infinita de termos baseados em potências de . Para isso, vamos precisar entender como expandir a função em uma série e verificar para quais valores de essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da série de Maclaurin. Ela é uma série de potências centrada em e é dada por:
Onde representa a -ésima derivada de avaliada em 0.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
Primeira derivada:
Avaliada em 0:
Segunda derivada:
Avaliada em 0:
Terceira derivada:
Avaliada em 0:
Podemos notar um padrão aqui. A -ésima derivada de avaliada em 0 é:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Portanto, a série de Maclaurin para é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o teste da razão, que nos ajuda a encontrar os valores de para os quais a série converge.
Aplicando o teste da razão:
Para que a série convirja, esse limite deve ser menor que 1: