(2 PONTOS) Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelo ponto (c, f(c)).
a) f'(c) não existe; f''(x) > 0 se x < c ; f''(x) > 0 se x > c;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos fazer um esboço do gráfico de uma função que passa pelo ponto . Sabemos que a derivada primeira em não existe, e que a derivada segunda é maior que zero tanto para quanto para . Isso envolve conceitos de derivadas e concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que não existe. A derivada primeira em um ponto nos dá a inclinação da tangente à função nesse ponto. Se não existe, isso indica que há um “canto” ou “quebra” no gráfico da função em . Ou seja, a função muda de direção de forma abrupta nesse ponto, sem ter uma tangente bem definida.

Passo 3

Agora, vamos analisar a derivada segunda para e . A derivada segunda nos informa sobre a concavidade da função. Quando , a função é côncava para cima, o que significa que o gráfico tem a forma de uma “U”. Então, para e , a função é côncava para cima.

Passo 4

Combinando essas informações, sabemos que:
  • Em , há um canto no gráfico.
  • Para , a função é côncava para cima.
  • Para , a função também é côncava para cima.
Isso sugere que o gráfico tem duas “braçadas” em forma de U de cada lado do ponto , mas se encontram em um ponto de canto onde a inclinação muda de forma abrupta.

Resposta

O esboço do gráfico de passa pelo ponto com um canto em . Para e , o gráfico é côncavo para cima, formando curvas em forma de U de cada lado do ponto de canto.

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