(2 PONTOS) Faça um esboço do gráfico de uma função
que passa pelo ponto
.
a)
não existe;
se
se
;
a)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos fazer um esboço do gráfico de uma função
que passa pelo ponto
. Sabemos que a derivada primeira em
não existe, e que a derivada segunda
é maior que zero tanto para
quanto para
. Isso envolve conceitos de derivadas e concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
não existe. A derivada primeira em um ponto nos dá a inclinação da tangente à função nesse ponto. Se
não existe, isso indica que há um “canto” ou “quebra” no gráfico da função em
. Ou seja, a função muda de direção de forma abrupta nesse ponto, sem ter uma tangente bem definida.
Passo 3
Agora, vamos analisar a derivada segunda
para
e
. A derivada segunda nos informa sobre a concavidade da função. Quando
, a função é côncava para cima, o que significa que o gráfico tem a forma de uma “U”. Então, para
e
, a função é côncava para cima.
Passo 4
Combinando essas informações, sabemos que:
- Em
, há um canto no gráfico. - Para
, a função é côncava para cima. - Para
, a função também é côncava para cima.
Isso sugere que o gráfico tem duas “braçadas” em forma de U de cada lado do ponto
, mas se encontram em um ponto de canto onde a inclinação muda de forma abrupta.
Resposta
O esboço do gráfico de
passa pelo ponto
com um canto em
. Para
e
, o gráfico é côncavo para cima, formando curvas em forma de U de cada lado do ponto de canto.