(2 PONTOS) Faça um esboço do gráfico de uma função
que passa pelo ponto
.
b)
se
se
se
se
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa esboçar o gráfico de uma função
que passa pelo ponto
e que segue algumas condições sobre suas derivadas primeira e segunda em relação a
. A matéria aqui envolve derivadas primeira e segunda, que nos dizem sobre o crescimento da função e a concavidade do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a derivada primeira
nos diz. Quando
para
, isso significa que a função está diminuindo nessa região. Já quando
para
, a função está aumentando. Então, no ponto
, a função muda de decrescente para crescente, indicando que
é um ponto mínimo da função.
Passo 3
Agora, vamos analisar a derivada segunda
. Quando
para
, a concavidade do gráfico é para cima nessa região, ou seja, o gráfico é “sorridente”. Por outro lado, quando
para
, a concavidade é para baixo, fazendo o gráfico “chorar”. Isso nos diz que há uma mudança na concavidade no ponto
, sinalizando um ponto de inflexão.
Passo 4
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico. Sabemos que próximo a
, a função tem um mínimo e muda de concavidade. Para
, o gráfico está descendo e é côncavo para cima, e para
, está subindo e é côncavo para baixo. Isso cria uma curva que parece um “V” suavizado no ponto
, com diferentes curvaturas dos dois lados.
Resposta
O esboço do gráfico de
passa pelo ponto
, apresenta um mínimo nesse ponto, desce para a esquerda de
com concavidade para cima e sobe para a direita de
com concavidade para baixo. Visualmente, o gráfico tem uma curva que forma um ponto mínimo em
, com a parte esquerda em forma de “sorriso” e a parte direita em forma de “tristeza”.