(2 PONTOS) Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelo ponto (c, f(c)).
b) f'(x) < 0 se x < c ; f'(x) > 0 se x > c ; f''(x) > 0 se x < c ; f''(x) < 0 se x > c;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa esboçar o gráfico de uma função que passa pelo ponto e que segue algumas condições sobre suas derivadas primeira e segunda em relação a . A matéria aqui envolve derivadas primeira e segunda, que nos dizem sobre o crescimento da função e a concavidade do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a derivada primeira nos diz. Quando para , isso significa que a função está diminuindo nessa região. Já quando para , a função está aumentando. Então, no ponto , a função muda de decrescente para crescente, indicando que é um ponto mínimo da função.

Passo 3

Agora, vamos analisar a derivada segunda . Quando para , a concavidade do gráfico é para cima nessa região, ou seja, o gráfico é “sorridente”. Por outro lado, quando para , a concavidade é para baixo, fazendo o gráfico “chorar”. Isso nos diz que há uma mudança na concavidade no ponto , sinalizando um ponto de inflexão.

Passo 4

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico. Sabemos que próximo a , a função tem um mínimo e muda de concavidade. Para , o gráfico está descendo e é côncavo para cima, e para , está subindo e é côncavo para baixo. Isso cria uma curva que parece um “V” suavizado no ponto , com diferentes curvaturas dos dois lados.

Resposta

O esboço do gráfico de passa pelo ponto , apresenta um mínimo nesse ponto, desce para a esquerda de com concavidade para cima e sobe para a direita de com concavidade para baixo. Visualmente, o gráfico tem uma curva que forma um ponto mínimo em , com a parte esquerda em forma de “sorriso” e a parte direita em forma de “tristeza”.

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