Encontre a série de Maclaurin da função dada.
f(x) = 1 / (1 - x)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função . A série de Maclaurin é basicamente uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de potências de , e para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de Taylor centrada em . Ou seja, é uma forma de expressar a função como uma soma infinita envolvendo elevado a diferentes potências. A fórmula geral da série de Maclaurin é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Sabemos que a série de é uma série geométrica simples:

Passo 4

Para encontrar a série de , vamos derivar a série que acabamos de escrever. Derivar termo a termo é permitido aqui dentro do intervalo de convergência .
Derivando , temos:
Então, derivando a série:

Passo 5

Portanto, a série de Maclaurin para fica:

Resposta

A série de Maclaurin da função é:

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