Encontre a série de Maclaurin da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função
. A série de Maclaurin é basicamente uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de potências de
, e para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de Taylor centrada em
. Ou seja, é uma forma de expressar a função
como uma soma infinita envolvendo
elevado a diferentes potências. A fórmula geral da série de Maclaurin é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Sabemos que a série de
é uma série geométrica simples:
Passo 4
Para encontrar a série de
, vamos derivar a série que acabamos de escrever. Derivar termo a termo é permitido aqui dentro do intervalo de convergência
.
Derivando
, temos:
Então, derivando a série:
Passo 5
Portanto, a série de Maclaurin para
fica:
Resposta
A série de Maclaurin da função
é: