Encontre a série de Maclaurin da função dada.
f(x) = (e^x - 1) / x

Passo 1

Vamos encontrar a série de Maclaurin para a função . A matéria que vamos usar aqui é a série de Maclaurin, que serve para representar funções como uma soma infinita de potências de . Para resolver isso, precisamos conhecer a série de Maclaurin da função e então fazer algumas manipulações para adaptar ao nosso .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin da função . A série de Maclaurin para é dada por:
Isso significa que podemos expandir em uma sequência infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Agora, vamos usar essa série para encontrar :
Como o primeiro termo da série quando é , ao subtrairmos 1, esse termo desaparece:

Passo 4

Agora, queremos calcular . Substituindo a série que encontramos:
Podemos simplificar dividindo cada termo da série por :

Passo 5

Vamos ajustar o índice da soma para facilitar a representação. Substituindo , quando , :
Podemos renomear de volta para sem problema:

Resposta

A série de Maclaurin da função é:

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