Encontre a série de Maclaurin da função dada.
Passo 1
Vamos encontrar a série de Maclaurin para a função
. A matéria que vamos usar aqui é a série de Maclaurin, que serve para representar funções como uma soma infinita de potências de
. Para resolver isso, precisamos conhecer a série de Maclaurin da função
e então fazer algumas manipulações para adaptar ao nosso
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin da função
. A série de Maclaurin para
é dada por:
Isso significa que podemos expandir
em uma sequência infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, vamos usar essa série para encontrar
:
Como o primeiro termo da série quando
é
, ao subtrairmos 1, esse termo desaparece:
Passo 4
Agora, queremos calcular
. Substituindo a série que encontramos:
Podemos simplificar dividindo cada termo da série por
:
Passo 5
Vamos ajustar o índice da soma para facilitar a representação. Substituindo
, quando
,
:
Podemos renomear
de volta para
sem problema:
Resposta
A série de Maclaurin da função
é: