Encontre a soma da série
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita que alterna os sinais e envolve potências de
divididas por fatoriais. Nosso objetivo é encontrar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e a expansão em série da função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série que conhecemos bem: a série da função exponencial
. Ela é dada por:
Perceba que a série que temos no exercício é bem parecida, mas com algumas diferenças: ela tem sinais alternados e usa
elevado a diferentes potências.
Passo 3
Vamos tentar adaptar a série da exponencial para se parecer com a que temos no exercício. Se substituirmos
por
na série da exponencial, ficamos com:
Agora, veja só! Essa nova série é exatamente igual à que a questão nos deu.
Passo 4
Então, se substituindo
por
a série da exponencial coincide com a série do exercício, podemos concluir que a soma da série é simplesmente
.
Resposta
A soma da série é
.