Encontre a soma da série
1 - e + e^2/2! - e^3/3! + e^4/4! - e^5/5! + e^6/6! - ...

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita que alterna os sinais e envolve potências de divididas por fatoriais. Nosso objetivo é encontrar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e a expansão em série da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série que conhecemos bem: a série da função exponencial . Ela é dada por:
Perceba que a série que temos no exercício é bem parecida, mas com algumas diferenças: ela tem sinais alternados e usa elevado a diferentes potências.

Passo 3

Vamos tentar adaptar a série da exponencial para se parecer com a que temos no exercício. Se substituirmos por na série da exponencial, ficamos com:
Agora, veja só! Essa nova série é exatamente igual à que a questão nos deu.

Passo 4

Então, se substituindo por a série da exponencial coincide com a série do exercício, podemos concluir que a soma da série é simplesmente .

Resposta

A soma da série é .

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