Encontre a soma da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série que alterna sinais e envolve frações com denominadores crescentes:
Vamos usar conceitos de séries infinitas e séries alternadas para descobrir qual é a soma dessa sequência. Precisamos lembrar dos testes de convergência para saber se a série chega a um valor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série alternada, ou seja, os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa. Isso muitas vezes ajuda a determinar se a série converge, ou seja, se ela tem uma soma finita.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos da série diminuem de tamanho e tendem a zero, então a série converge. Olhando para os termos:
Vemos que eles realmente estão diminuindo e se aproximam de zero conforme avançamos na série.
Passo 4
Sabendo que a série converge, queremos encontrar o valor dessa soma. Essa série específica é conhecida como a Série Harmônica Alternada. Uma propriedade interessante dessa série é que sua soma é igual ao logaritmo natural de 2.
Passo 5
Então, juntando tudo, sabemos que:
Resposta
A soma da série é
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