Encontre a soma da série
y = sen(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série que alterna sinais e envolve frações com denominadores crescentes:
y = sen(x^2)
Vamos usar conceitos de séries infinitas e séries alternadas para descobrir qual é a soma dessa sequência. Precisamos lembrar dos testes de convergência para saber se a série chega a um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série alternada, ou seja, os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa. Isso muitas vezes ajuda a determinar se a série converge, ou seja, se ela tem uma soma finita.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos da série diminuem de tamanho e tendem a zero, então a série converge. Olhando para os termos:
y = sen(x^2)
Vemos que eles realmente estão diminuindo e se aproximam de zero conforme avançamos na série.

Passo 4

Sabendo que a série converge, queremos encontrar o valor dessa soma. Essa série específica é conhecida como a Série Harmônica Alternada. Uma propriedade interessante dessa série é que sua soma é igual ao logaritmo natural de 2.

Passo 5

Então, juntando tudo, sabemos que:
y = sen(x^2)

Resposta

A soma da série é .

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<html><head></head><body><div>Encontre a série de Maclaurin da função dada.<br>
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