Teste a convergência ou divergência das séries.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para testarmos a convergência ou divergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar se uma série converge ou diverge, especialmente quando temos termos com fatorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , calculamos o limite . Se:
  • , a série converge.
  • ou é infinito, a série diverge.
  • , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. Primeiro, identificamos . Então, precisamos encontrar :
Agora, calculamos a razão :

Passo 4

Agora, calculamos o limite dessa razão quando tende ao infinito:

Passo 5

Como e isso é maior que 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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