Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty n!3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para testarmos a convergência ou divergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar se uma série converge ou diverge, especialmente quando temos termos com fatorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , calculamos o limite . Se:
  • , a série converge.
  • ou é infinito, a série diverge.
  • , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. Primeiro, identificamos an+1 = (n+1)!3^n+1 . Então, precisamos encontrar an+1an = (n+1)!3^n+1n!3^n = (n+1) cdot n!3^n+1 cdot 3^nn! = n+13 :
Agora, calculamos a razão :

Passo 4

Agora, calculamos o limite dessa razão quando L = limn to infty n+13 = limn to infty n3 + 13 = infty tende ao infinito:

Passo 5

Como e isso é maior que 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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