Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de MacLaurin da função e determinar o raio de convergência. Para isso, precisamos entender o que é uma série de MacLaurin, que é uma série de Taylor expandida em torno de . Vamos também precisar analisar a função e verificar se ela pode ser expandida em uma série de potências válida nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Sabemos que:
Então, a função fica:
Agora, precisamos verificar se a função pode ser expandida em uma série de MacLaurin.

Passo 3

A série de MacLaurin para uma função é dada por:
No entanto, para que essa expansão exista, a função deve ser diferenciável em todos os pontos próximos a .

Passo 4

Vamos analisar a função em . Sabemos que:
Isso significa que a função possui uma descontinuidade em e, portanto, não é diferenciável nesse ponto.

Passo 5

Como a função não é definida nem diferenciável em , não podemos construir uma série de potências (MacLaurin) válida para representar essa função nesse ponto.

Resposta

A série de MacLaurin para a função não existe, pois a função não é definida nem diferenciável em . Portanto, não é possível determinar um raio de convergência para essa série.

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