Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de MacLaurin da função
e determinar o raio de convergência. Para isso, precisamos entender o que é uma série de MacLaurin, que é uma série de Taylor expandida em torno de
. Vamos também precisar analisar a função e verificar se ela pode ser expandida em uma série de potências válida nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Sabemos que:
Então, a função fica:
Agora, precisamos verificar se a função
pode ser expandida em uma série de MacLaurin.
Passo 3
A série de MacLaurin para uma função
é dada por:
No entanto, para que essa expansão exista, a função deve ser diferenciável em todos os pontos próximos a
.
Passo 4
Vamos analisar a função
em
. Sabemos que:
Isso significa que a função
possui uma descontinuidade em
e, portanto, não é diferenciável nesse ponto.
Passo 5
Como a função
não é definida nem diferenciável em
, não podemos construir uma série de potências (MacLaurin) válida para representar essa função nesse ponto.
Resposta
A série de MacLaurin para a função
não existe, pois a função não é definida nem diferenciável em
. Portanto, não é possível determinar um raio de convergência para essa série.
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.
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