Nos problemas 2, 3 e 4 achar a solução do problema de valor inicial dado.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . A matéria que vamos usar aqui são equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no padrão mais familiar. Vamos mover todos os termos para o lado esquerdo:
Mas é mais comum escrever com o termo positivo, então multiplicamos todos os termos por -1:
Agora, vamos reescrever isso como:

Passo 3

Agora, dividimos a resolução em duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Equação Homogênea:
Vamos resolver isso primeiro.

Passo 4

Para resolver a equação homogênea, escrevemos a equação característica associada:
Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 5

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar mais pra frente.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Observando o lado direito, que é uma função polinomial de primeiro grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
Vamos derivar :

Passo 7

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para os termos constantes:
Substituindo :

Passo 8

Então, a solução particular é:

Passo 9

Agora, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 10

Por fim, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :

Passo 11

Segunda condição:
Primeiro, vamos achar a derivada de :
Agora, substituímos e :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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