Nos problemas 2, 3 e 4 achar a solução do problema de valor inicial dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. A matéria que vamos usar aqui são equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no padrão mais familiar. Vamos mover todos os termos para o lado esquerdo:
Mas é mais comum escrever com o termo
positivo, então multiplicamos todos os termos por -1:
Agora, vamos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, dividimos a resolução em duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Equação Homogênea:
Vamos resolver isso primeiro.
Passo 4
Para resolver a equação homogênea, escrevemos a equação característica associada:
Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais pra frente.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Observando o lado direito, que é uma função polinomial de primeiro grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
Vamos derivar
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para os termos constantes:
Substituindo
:
Passo 8
Então, a solução particular é:
Passo 9
Agora, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 10
Por fim, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Passo 11
Segunda condição:
Primeiro, vamos achar a derivada de
:
Agora, substituímos
e
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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