Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de MacLaurin da função e determinar o raio de convergência. Para isso, vamos utilizar os conceitos de séries de potências, especificamente a série de MacLaurin, que é uma série de Taylor centrada em 0. Precisaremos também aplicar a série geométrica para facilitar a expansão da função.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, reconhecemos que a expressão é a forma da série geométrica, cuja soma é dada por:
Nesse caso, . Portanto, a série converge quando , ou seja, .
Passo 4
Substituindo na série geométrica, temos:
Passo 5
Agora, multiplicamos essa série por para obter a série de MacLaurin de :
Passo 6
Simplificando a expressão da série:
Podemos reindexar a soma para começar em :
Passo 7
Finalmente, expressamos a série de MacLaurin de forma mais compacta: