Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de MacLaurin da função e determinar o raio de convergência. Para isso, vamos utilizar os conceitos de séries de potências, especificamente a série de MacLaurin, que é uma série de Taylor centrada em 0. Precisaremos também aplicar a série geométrica para facilitar a expansão da função.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Podemos fatorar o denominador:

Passo 3

Agora, reconhecemos que a expressão é a forma da série geométrica, cuja soma é dada por:
Nesse caso, . Portanto, a série converge quando , ou seja, .

Passo 4

Substituindo na série geométrica, temos:

Passo 5

Agora, multiplicamos essa série por para obter a série de MacLaurin de :

Passo 6

Simplificando a expressão da série:
Podemos reindexar a soma para começar em :

Passo 7

Finalmente, expressamos a série de MacLaurin de forma mais compacta:

Resposta

A série de MacLaurin da função é:
E o raio de convergência dessa série é .

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