Resolva as EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é
, onde
. Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem e vamos usar uma substituição para simplificar a resolução. Precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar substituições para resolver esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, note que temos a substituição
. Vamos usar isso para reescrever a EDO em termos de
.
Se
, então derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 3
Agora, substituímos
na equação original. Sabemos que
, mas parece que há uma inconsistência com o uso da variável
. Vamos supor que seja um erro de digitação e que na verdade seja
, então a equação fica:
Substituindo na derivada de
:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. Primeiro, identificamos os coeficientes:
O fator integrante
é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
:
Infelizmente, a integral
não pode ser expressa em termos de funções elementares, então deixamos a solução nessa forma.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Nos problemas 2, 3 e 4 achar a solução do problema de valor inicial dado.
.
Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:
Resolva as EDO
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