para qualquer , concluir que para valores de . Pode usar a Desigualdade de Taylor: Se para |x-a| <= d, então
|Rn(x)| <= M(n+1)!|x-a|^n+1
para |x-a| <= d.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de Maclaurin da função sin(x) e verificar que ela é dada por:
sin (x)=sumn=0^+infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!
Além disso, precisamos mostrar que para valores de x próximos de 0, sin(x) é aproximadamente igual a x. Para isso, vamos usar a Desigualdade de Taylor, que nos ajuda a estimar o erro nessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a série de Maclaurin. Ela é uma expansão em série de uma função em torno de x = 0. Para encontrar essa série, precisamos calcular as derivadas da função sin(x) avaliadas em x = 0.
A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função f(x) é:
f(x) = sumn=0^+infty f^(n)(0)n! x^n
Onde f^(n)(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0.
Passo 3
Vamos calcular algumas derivadas de sin(x):
f(x) = sin(x), então f(0) = 0
f'(x) = cos(x), então f'(0) = 1
f''(x) = -sin(x), então f''(0) = 0
f'''(x) = -cos(x), então f'''(0) = -1
f''''(x) = sin(x), então f''''(0) = 0
E assim por diante…
Observamos que as derivadas de ordem par são zero e as de ordem ímpar alternam entre 1 e -1.
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Que é exatamente a série que o exercício nos deu para verificar.
Passo 5
Agora, para concluir que sin(x) approx x quando x está próximo de 0, vamos considerar apenas o primeiro termo da série de Maclaurin:
sin(x) approx x
Para justificar essa aproximação, usamos a Desigualdade de Taylor, que nos dá uma estimativa do erro ao truncar a série. A desigualdade é:
|Rn(x)| <= M(n+1)! |x|^n+1
Onde Rn(x) é o resto da série após n termos, e M é um limite para a (n+1)-ésima derivada da função em um intervalo que contém x.
No nosso caso, ao considerar apenas o primeiro termo (n=0):
|R0(x)| <= M1! |x|^1 = M |x|
Sabemos que para a função sin(x), a derivada de ordem 2 é -sin(x), cujo valor absoluto é no máximo 1. Então, M = 1.
Portanto:
|R0(x)| <= |x|
Isso significa que o erro na aproximação sin(x) approx x é, no máximo, igual a |x|. Para x muito próximo de 0, esse erro é insignificante, confirmando que sin(x) approx x é uma boa aproximação.
Resposta
Concluímos que a série de Maclaurin de sin(x) é:
sin (x)=sumn=0^+infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!
E para valores de x próximos de 0, temos que sin(x) approx x.