Encontre a série de Maclaurin de sin (x) e verifique que
sin (x)=sumn=0^+infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!
para qualquer x in R, concluir que sin (x) approx x para valores de x approx 0. Pode usar a Desigualdade de Taylor: Se |f^(n+1)(x)| para |x-a| <= d, então
|Rn(x)| <= M(n+1)!|x-a|^n+1
para |x-a| <= d.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de Maclaurin da função sin(x) e verificar que ela é dada por:
sin (x)=sumn=0^+infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!
Além disso, precisamos mostrar que para valores de x próximos de 0, sin(x) é aproximadamente igual a x. Para isso, vamos usar a Desigualdade de Taylor, que nos ajuda a estimar o erro nessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a série de Maclaurin. Ela é uma expansão em série de uma função em torno de x = 0. Para encontrar essa série, precisamos calcular as derivadas da função sin(x) avaliadas em x = 0.
A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função f(x) é:
f(x) = sumn=0^+infty f^(n)(0)n! x^n
Onde f^(n)(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0.

Passo 3

Vamos calcular algumas derivadas de sin(x):
  1. f(x) = sin(x), então f(0) = 0
  2. f'(x) = cos(x), então f'(0) = 1
  3. f''(x) = -sin(x), então f''(0) = 0
  4. f'''(x) = -cos(x), então f'''(0) = -1
  5. f''''(x) = sin(x), então f''''(0) = 0
  6. E assim por diante…
Observamos que as derivadas de ordem par são zero e as de ordem ímpar alternam entre 1 e -1.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, temos:
sin(x) = f(0)0!x^0 + f'(0)1!x^1 + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + cdots
Simplificando:
sin(x) = 0 + 11!x - 0 + -13!x^3 + 0 + 15!x^5 - cdots
Isso resulta na série:
sin(x) = sumn=0^+infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Que é exatamente a série que o exercício nos deu para verificar.

Passo 5

Agora, para concluir que sin(x) approx x quando x está próximo de 0, vamos considerar apenas o primeiro termo da série de Maclaurin:
sin(x) approx x
Para justificar essa aproximação, usamos a Desigualdade de Taylor, que nos dá uma estimativa do erro ao truncar a série. A desigualdade é:
|Rn(x)| <= M(n+1)! |x|^n+1
Onde Rn(x) é o resto da série após n termos, e M é um limite para a (n+1)-ésima derivada da função em um intervalo que contém x.
No nosso caso, ao considerar apenas o primeiro termo ( n=0):
|R0(x)| <= M1! |x|^1 = M |x|
Sabemos que para a função sin(x), a derivada de ordem 2 é -sin(x), cujo valor absoluto é no máximo 1. Então, M = 1.
Portanto:
|R0(x)| <= |x|
Isso significa que o erro na aproximação sin(x) approx x é, no máximo, igual a |x|. Para x muito próximo de 0, esse erro é insignificante, confirmando que sin(x) approx x é uma boa aproximação.

Resposta

Concluímos que a série de Maclaurin de sin(x) é:
sin (x)=sumn=0^+infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!
E para valores de x próximos de 0, temos que sin(x) approx x.

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