Encontre a série de Maclaurin de e verifique que
para qualquer , concluir que para valores de . Pode usar a Desigualdade de Taylor: Se para , então
para .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de Maclaurin da função e verificar que ela é dada por:
Além disso, precisamos mostrar que para valores de próximos de 0, é aproximadamente igual a . Para isso, vamos usar a Desigualdade de Taylor, que nos ajuda a estimar o erro nessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a série de Maclaurin. Ela é uma expansão em série de uma função em torno de . Para encontrar essa série, precisamos calcular as derivadas da função avaliadas em .
A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Onde é a -ésima derivada de avaliada em 0.

Passo 3

Vamos calcular algumas derivadas de :
  1. , então
  2. , então
  3. , então
  4. , então
  5. , então
  6. E assim por diante…
Observamos que as derivadas de ordem par são zero e as de ordem ímpar alternam entre 1 e -1.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Simplificando:
Isso resulta na série:
Que é exatamente a série que o exercício nos deu para verificar.

Passo 5

Agora, para concluir que quando está próximo de 0, vamos considerar apenas o primeiro termo da série de Maclaurin:
Para justificar essa aproximação, usamos a Desigualdade de Taylor, que nos dá uma estimativa do erro ao truncar a série. A desigualdade é:
Onde é o resto da série após termos, e é um limite para a -ésima derivada da função em um intervalo que contém .
No nosso caso, ao considerar apenas o primeiro termo ( ):
Sabemos que para a função , a derivada de ordem 2 é , cujo valor absoluto é no máximo 1. Então, .
Portanto:
Isso significa que o erro na aproximação é, no máximo, igual a . Para muito próximo de 0, esse erro é insignificante, confirmando que é uma boa aproximação.

Resposta

Concluímos que a série de Maclaurin de é:
E para valores de próximos de 0, temos que .

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Para as equações abaixo:
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II. Identifique as soluções de equilíbrio;
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(a)
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
O seguinte exercício mostra como as séries de potências podem aparecer, de maneira totalmente natural, em nosso cotidiano:
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