para qualquer , concluir que para valores de . Pode usar a Desigualdade de Taylor: Se para , então
para .
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de Maclaurin da função e verificar que ela é dada por:
Além disso, precisamos mostrar que para valores de próximos de 0, é aproximadamente igual a . Para isso, vamos usar a Desigualdade de Taylor, que nos ajuda a estimar o erro nessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a série de Maclaurin. Ela é uma expansão em série de uma função em torno de . Para encontrar essa série, precisamos calcular as derivadas da função avaliadas em .
A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Onde é a -ésima derivada de avaliada em 0.
Passo 3
Vamos calcular algumas derivadas de :
, então
, então
, então
, então
, então
E assim por diante…
Observamos que as derivadas de ordem par são zero e as de ordem ímpar alternam entre 1 e -1.
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Simplificando:
Isso resulta na série:
Que é exatamente a série que o exercício nos deu para verificar.
Passo 5
Agora, para concluir que quando está próximo de 0, vamos considerar apenas o primeiro termo da série de Maclaurin:
Para justificar essa aproximação, usamos a Desigualdade de Taylor, que nos dá uma estimativa do erro ao truncar a série. A desigualdade é:
Onde é o resto da série após termos, e é um limite para a -ésima derivada da função em um intervalo que contém .
No nosso caso, ao considerar apenas o primeiro termo ():
Sabemos que para a função , a derivada de ordem 2 é , cujo valor absoluto é no máximo 1. Então, .
Portanto:
Isso significa que o erro na aproximação é, no máximo, igual a . Para muito próximo de 0, esse erro é insignificante, confirmando que é uma boa aproximação.