Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa analisar o gráfico da função
. Vamos usar alguns conceitos de Matemática, como domínio, intersecções, simetria, assíntotas, crescimento/decrescimento, máximos/minimos, concavidade e pontos de inflexão. Para isso, vamos resolver cada item passo a passo, explicando tudo de uma forma bem tranquila.
Passo 2
A. Determine o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função
, vemos que é um polinômio. Polinômios são definidos para todos os números reais, então:
Passo 3
B. Intersecções com os eixos.
Vamos encontrar onde a função cruza os eixos
e
.
- Interseção com o eixo
: acontece quando .
Então, a interseção com o eixo
é em
.
- Interseções com o eixo
: acontecem quando .
Então, as interseções com o eixo
são em
e
.
Passo 4
C. Simetrias.
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
- Função par:
- Função ímpar:
Calculando
:
Comparando com
, vemos que
nem
.
Então, a função não possui simetria.
Passo 5
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas são retas que a função se aproxima, mas nunca toca. Vamos ver se existem.
-
Assíntotas Verticais: Geralmente aparecem em funções racionais, onde o denominador zero causa problemas. A nossa função é um polinômio, não possui denominador, então não há assíntotas verticais.
-
Assíntotas Horizontais: Olhamos o comportamento da função quando
vai para ou .
Como o grau do numerador (3) é maior que o grau do denominador (implícito 0), se houvesse uma assíntota horizontal, ela seria
. No entanto, como a função é um polinômio de grau ímpar, o limite quando
vai para
é
e quando
vai para
é
, então não há assíntotas horizontais.
Passo 6
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
Para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos derivar
e analisar o sinal da derivada.
Agora, vamos resolver
:
Vamos analisar os intervalos determinados por
e
:
- Para
: Escolha
- Para
: Escolha
- Para
: Escolha
Então:
- Crescente em:
e - Decrescente em:
Passo 7
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais.
Continuando com a derivada
, nos pontos críticos
e
.
Vamos usar a segunda derivada para determinar se são máximos ou mínimos:
- Em
:
Calculando
:
Então, há um máximo local em (-3, 0).
- Em
:
Calculando
:
Então, há um mínimo local em (-1, -4).
Passo 8
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para analisar a concavidade, usamos a segunda derivada
.
Vamos encontrar onde
:
Vamos testar os intervalos determinados por
:
- Para
: Escolha
- Para
: Escolha
Então:
- Concavidade para baixo:
- Concavidade para cima:
O ponto onde a concavidade muda é
. Calculando
:
Então, há um ponto de inflexão em (-2, -2).
Passo 9
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Vamos resumir as informações para desenhar o gráfico:
- Domínio:
- Interseções:
e - Máximo local:
- Mínimo local:
- Pontos de inflexão:
- Crescimento:
e - Decrescimento:
- Concavidade: Para baixo em
e para cima em - Sem simetria ou assíntotas
Com essas informações, conseguimos desenhar o gráfico da função
, garantindo que passa pelos pontos determinados, respeita os intervalos de crescimento e decrescimento, e apresenta a concavidade correta.
Resposta
A análise completa nos mostra que a função
possui domínio em todos os reais, interseções nos pontos
e
, não possui simetrias ou assíntotas. Ela é crescente em
e
, e decrescente em
. Apresenta um máximo local em
e um mínimo local em
. A concavidade é para baixo em
e para cima em
, com um ponto de inflexão em
. Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico completo da função.