Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa analisar o gráfico da função . Vamos usar alguns conceitos de Matemática, como domínio, intersecções, simetria, assíntotas, crescimento/decrescimento, máximos/minimos, concavidade e pontos de inflexão. Para isso, vamos resolver cada item passo a passo, explicando tudo de uma forma bem tranquila.
Passo 2
A. Determine o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função , vemos que é um polinômio. Polinômios são definidos para todos os números reais, então:
Passo 3
B. Intersecções com os eixos.
Vamos encontrar onde a função cruza os eixos e .
Interseção com o eixo : acontece quando .
Então, a interseção com o eixo é em .
Interseções com o eixo : acontecem quando .
Então, as interseções com o eixo são em e .
Passo 4
C. Simetrias.
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
Função par:
Função ímpar:
Calculando :
Comparando com , vemos que nem .
Então, a função não possui simetria.
Passo 5
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas são retas que a função se aproxima, mas nunca toca. Vamos ver se existem.
Assíntotas Verticais: Geralmente aparecem em funções racionais, onde o denominador zero causa problemas. A nossa função é um polinômio, não possui denominador, então não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais: Olhamos o comportamento da função quando vai para ou .
Como o grau do numerador (3) é maior que o grau do denominador (implícito 0), se houvesse uma assíntota horizontal, ela seria . No entanto, como a função é um polinômio de grau ímpar, o limite quando vai para é e quando vai para é , então não há assíntotas horizontais.
Passo 6
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
Para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos derivar e analisar o sinal da derivada.
Agora, vamos resolver :
Vamos analisar os intervalos determinados por e :
Para : Escolha
Para : Escolha
Para : Escolha
Então:
Crescente em: e
Decrescente em:
Passo 7
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais.
Continuando com a derivada , nos pontos críticos e .
Vamos usar a segunda derivada para determinar se são máximos ou mínimos:
Em :
Calculando :
Então, há um máximo local em (-3, 0).
Em :
Calculando :
Então, há um mínimo local em (-1, -4).
Passo 8
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para analisar a concavidade, usamos a segunda derivada .
Vamos encontrar onde :
Vamos testar os intervalos determinados por :
Para : Escolha
Para : Escolha
Então:
Concavidade para baixo:
Concavidade para cima:
O ponto onde a concavidade muda é . Calculando :
Então, há um ponto de inflexão em (-2, -2).
Passo 9
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Vamos resumir as informações para desenhar o gráfico:
Domínio:
Interseções: e
Máximo local:
Mínimo local:
Pontos de inflexão:
Crescimento: e
Decrescimento:
Concavidade: Para baixo em e para cima em
Sem simetria ou assíntotas
Com essas informações, conseguimos desenhar o gráfico da função , garantindo que passa pelos pontos determinados, respeita os intervalos de crescimento e decrescimento, e apresenta a concavidade correta.
Resposta
A análise completa nos mostra que a função possui domínio em todos os reais, interseções nos pontos e , não possui simetrias ou assíntotas. Ela é crescente em e , e decrescente em . Apresenta um máximo local em e um mínimo local em . A concavidade é para baixo em e para cima em , com um ponto de inflexão em . Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico completo da função.