O seguinte exercício mostra como as séries de potências podem aparecer, de maneira totalmente natural, em nosso cotidiano:
Mostre que a probabilidade na resposta do item anterior para quantidades de pessoas muito grandes é aproximadamente igual a , onde a constante e é a base de logaritmo neperiano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para um número muito grande de pessoas, a probabilidade é aproximadamente igual a . Aqui, estamos lidando com probabilidades e limites envolvendo séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como a expressão se comporta quando fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na expressão . Essa forma aparece bastante em probabilidade, especialmente em situações onde estamos calculando a chance de um evento específico não ocorrer em várias tentativas.
Passo 3
Agora, queremos ver o que acontece com quando tende ao infinito, ou seja, quando temos um número muito grande de pessoas.
Passo 4
Sabemos que, matematicamente, . Essa é uma propriedade importante que liga a expressão a constante , que é aproximadamente 2,71828.
Passo 5
Então, aplicando esse limite à nossa situação, concluímos que quando o número de pessoas fica muito grande, a expressão se aproxima de .
Resposta
Portanto, para quantidades de pessoas muito grandes, a probabilidade é aproximadamente igual a .