O seguinte exercício mostra como as séries de potências podem aparecer, de maneira totalmente natural, em nosso cotidiano:
Mostre que a probabilidade na resposta do item anterior para quantidades de pessoas muito grandes é aproximadamente igual a , onde a constante e é a base de logaritmo neperiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para um número muito grande de pessoas, a probabilidade é aproximadamente igual a . Aqui, estamos lidando com probabilidades e limites envolvendo séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como a expressão se comporta quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na expressão . Essa forma aparece bastante em probabilidade, especialmente em situações onde estamos calculando a chance de um evento específico não ocorrer em várias tentativas.

Passo 3

Agora, queremos ver o que acontece com quando tende ao infinito, ou seja, quando temos um número muito grande de pessoas.

Passo 4

Sabemos que, matematicamente, . Essa é uma propriedade importante que liga a expressão a constante , que é aproximadamente 2,71828.

Passo 5

Então, aplicando esse limite à nossa situação, concluímos que quando o número de pessoas fica muito grande, a expressão se aproxima de .

Resposta

Portanto, para quantidades de pessoas muito grandes, a probabilidade é aproximadamente igual a .

Exercícios relacionados

Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Encontre a série de Maclaurin de e verifique que
para qualquer , concluir que para valores de . Pode usar a Desigualdade de Taylor: Se para , então
para .
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Sabendo que a função coincide coma sua série de Maclaurin no intervalo . Expresse a função como uma série de potencias em torno de , pelo menos calcule os primeiros quatro termos dessa série. Utilize esse resultado e a equação da energia total de um corpo em movimento de massa e rapidez dada por:
para deduzir a seguinte aproximação
para valores de muito pequenos em comparação a , onde c é a rapidez da luz no vácuo, ou seja quando .