O seguinte exercício mostra como as séries de potências podem aparecer, de maneira totalmente natural, em nosso cotidiano:
Mostre que a probabilidade na resposta do item anterior para quantidades de pessoas muito grandes é aproximadamente igual a e^(-1), onde a constante e é a base de logaritmo neperiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para um número muito grande de pessoas, a probabilidade é aproximadamente igual a e^(-1). Aqui, estamos lidando com probabilidades e limites envolvendo séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como a expressão se comporta quando n fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na expressão . Essa forma aparece bastante em probabilidade, especialmente em situações onde estamos calculando a chance de um evento específico não ocorrer em várias tentativas.

Passo 3

Agora, queremos ver o que acontece com quando n tende ao infinito, ou seja, quando temos um número muito grande de pessoas.

Passo 4

Sabemos que, matematicamente, . Essa é uma propriedade importante que liga a expressão a constante e, que é aproximadamente 2,71828.

Passo 5

Então, aplicando esse limite à nossa situação, concluímos que quando o número de pessoas n fica muito grande, a expressão se aproxima de e^(-1).

Resposta

Portanto, para quantidades de pessoas muito grandes, a probabilidade é aproximadamente igual a e^(-1).

Exercícios relacionados