O seguinte exercício mostra como as séries de potências podem aparecer, de maneira totalmente natural, em nosso cotidiano:
Mostre que a probabilidade na resposta do item anterior para quantidades de pessoas muito grandes é aproximadamente igual a
, onde a constante e é a base de logaritmo neperiano.
Mostre que a probabilidade na resposta do item anterior para quantidades de pessoas muito grandes é aproximadamente igual a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para um número muito grande de pessoas, a probabilidade é aproximadamente igual a
. Aqui, estamos lidando com probabilidades e limites envolvendo séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como a expressão
se comporta quando
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na expressão
. Essa forma aparece bastante em probabilidade, especialmente em situações onde estamos calculando a chance de um evento específico não ocorrer em várias tentativas.
Passo 3
Agora, queremos ver o que acontece com
quando
tende ao infinito, ou seja, quando temos um número muito grande de pessoas.
Passo 4
Sabemos que, matematicamente,
. Essa é uma propriedade importante que liga a expressão a constante
, que é aproximadamente 2,71828.
Passo 5
Então, aplicando esse limite à nossa situação, concluímos que quando o número de pessoas
fica muito grande, a expressão
se aproxima de
.
Resposta
Portanto, para quantidades de pessoas muito grandes, a probabilidade é aproximadamente igual a
.