Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
, destacando se este comportamento depende do valor inicial
;
(a)
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a equação diferencial
. Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais, especificamente em equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como campo de direções, soluções de equilíbrio e o comportamento assintótico das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o campo de direções para a equação
. O campo de direções é como um mapa que mostra a inclinação da solução em cada ponto
. Para cada valor de
, calculamos
:
- Se
, então será negativo, indicando que a solução está descendo. - Se
, então será positivo, indicando que a solução está subindo. - Se
, , ou seja, a solução permanece constante.
Passo 3
Agora, vamos identificar as soluções de equilíbrio. As soluções de equilíbrio são valores de
onde
. Resolvendo
, temos:
Então,
é a única solução de equilíbrio.
Passo 4
Por último, vamos analisar o comportamento do
. Queremos ver para onde as soluções tendem conforme
cresce. A equação
é uma equação linear simples cuja solução geral é:
Onde
é o valor inicial
. Quando
, o termo
tende a 0, então:
Isso mostra que, independentemente do valor inicial
, as soluções sempre tendem para 2 conforme o tempo aumenta.
Resposta
- O campo de direções mostra que as soluções descem para
se estiverem acima e sobem para se estiverem abaixo. - A única solução de equilíbrio é
. - Para qualquer valor inicial
, .
Assim, todas as soluções tendem para 2 conforme o tempo vai para o infinito, independentemente do valor inicial.