Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do lim t infty y(t), destacando se este comportamento depende do valor inicial y(0)=y0;
(a) d yd t=2-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a equação diferencial . Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais, especificamente em equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como campo de direções, soluções de equilíbrio e o comportamento assintótico das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o campo de direções para a equação . O campo de direções é como um mapa que mostra a inclinação da solução em cada ponto . Para cada valor de , calculamos :
  • Se , então será negativo, indicando que a solução está descendo.
  • Se , então será positivo, indicando que a solução está subindo.
  • Se , , ou seja, a solução permanece constante.

Passo 3

Agora, vamos identificar as soluções de equilíbrio. As soluções de equilíbrio são valores de y = 2 onde . Resolvendo , temos:
Então, é a única solução de equilíbrio.

Passo 4

Por último, vamos analisar o comportamento do y(t) = 2 + (y0 - 2)e^-t . Queremos ver para onde as soluções tendem conforme limt to infty y(t) = 2 cresce. A equação é uma equação linear simples cuja solução geral é:
Onde é o valor inicial . Quando , o termo tende a 0, então:
Isso mostra que, independentemente do valor inicial , as soluções sempre tendem para 2 conforme o tempo aumenta.

Resposta

  1. O campo de direções mostra que as soluções descem para se estiverem acima e sobem para se estiverem abaixo.
  2. A única solução de equilíbrio é .
  3. Para qualquer valor inicial , .
Assim, todas as soluções tendem para 2 conforme o tempo vai para o infinito, independentemente do valor inicial.

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