Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do , destacando se este comportamento depende do valor inicial ;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a equação diferencial . Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais, especificamente em equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como campo de direções, soluções de equilíbrio e o comportamento assintótico das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o campo de direções para a equação . O campo de direções é como um mapa que mostra a inclinação da solução em cada ponto . Para cada valor de , calculamos :
Se , então será negativo, indicando que a solução está descendo.
Se , então será positivo, indicando que a solução está subindo.
Se , , ou seja, a solução permanece constante.
Passo 3
Agora, vamos identificar as soluções de equilíbrio. As soluções de equilíbrio são valores de onde . Resolvendo , temos:
Então, é a única solução de equilíbrio.
Passo 4
Por último, vamos analisar o comportamento do . Queremos ver para onde as soluções tendem conforme cresce. A equação é uma equação linear simples cuja solução geral é:
Onde é o valor inicial . Quando , o termo tende a 0, então:
Isso mostra que, independentemente do valor inicial , as soluções sempre tendem para 2 conforme o tempo aumenta.
Resposta
O campo de direções mostra que as soluções descem para se estiverem acima e sobem para se estiverem abaixo.
A única solução de equilíbrio é .
Para qualquer valor inicial , .
Assim, todas as soluções tendem para 2 conforme o tempo vai para o infinito, independentemente do valor inicial.