Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do , destacando se este comportamento depende do valor inicial ;
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a equação diferencial . Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais, especificamente em equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como campo de direções, soluções de equilíbrio e o comportamento assintótico das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o campo de direções para a equação . O campo de direções é como um mapa que mostra a inclinação da solução em cada ponto . Para cada valor de , calculamos :
  • Se , então será negativo, indicando que a solução está descendo.
  • Se , então será positivo, indicando que a solução está subindo.
  • Se , , ou seja, a solução permanece constante.

Passo 3

Agora, vamos identificar as soluções de equilíbrio. As soluções de equilíbrio são valores de onde . Resolvendo , temos:
Então, é a única solução de equilíbrio.

Passo 4

Por último, vamos analisar o comportamento do . Queremos ver para onde as soluções tendem conforme cresce. A equação é uma equação linear simples cuja solução geral é:
Onde é o valor inicial . Quando , o termo tende a 0, então:
Isso mostra que, independentemente do valor inicial , as soluções sempre tendem para 2 conforme o tempo aumenta.

Resposta

  1. O campo de direções mostra que as soluções descem para se estiverem acima e sobem para se estiverem abaixo.
  2. A única solução de equilíbrio é .
  3. Para qualquer valor inicial , .
Assim, todas as soluções tendem para 2 conforme o tempo vai para o infinito, independentemente do valor inicial.

Exercícios relacionados

Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
3. .
Encontre a série de Maclaurin de e verifique que
para qualquer , concluir que para valores de . Pode usar a Desigualdade de Taylor: Se para , então
para .
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.