Suponha que
e
sejam conjuntos, tal que
. É o caso de
?
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos três conjuntos
,
e
, e foi dado que
. A pergunta é: isso implica que
?
Aqui estamos lidando com a diferença simétrica entre conjuntos, representada pelo símbolo
. A diferença simétrica entre dois conjuntos
e
,
, é o conjunto de elementos que estão em
ou em
, mas não em ambos simultaneamente.
Para resolver essa questão, vamos analisar o que significa que
e ver se, a partir disso, podemos concluir que
é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de diferença simétrica:
Isso significa que
contém todos os elementos que estão em
ou em
, mas exclui os que estão em ambos.
Aplicando isso aos nossos conjuntos:
Passo 3
Segundo a hipótese, sabemos que:
Isso significa que os conjuntos
e
são iguais.
Para simplificar, vamos tentar isolar
e
. Vamos utilizar uma propriedade importante das diferenças simétricas:
Isso ocorre porque a diferença simétrica é comutativa e associativa, e aplicar a mesma operação duas vezes com o mesmo conjunto anula a operação.
Passo 4
Aplicando essa propriedade à nossa equação inicial:
Vamos adicionar
de novo em ambos os lados:
Simplificando:
Resposta
Sim, é o caso de
.
Exercícios relacionados
Mostre que se
e
são conjuntos, então
.
Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de
.
Considere
para
. Encontre
.
Considere
e
. Encontre
.