Suponha que e sejam conjuntos, tal que . É o caso de ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos três conjuntos , e , e foi dado que . A pergunta é: isso implica que ?
Aqui estamos lidando com a diferença simétrica entre conjuntos, representada pelo símbolo . A diferença simétrica entre dois conjuntos e , , é o conjunto de elementos que estão em ou em , mas não em ambos simultaneamente.
Para resolver essa questão, vamos analisar o que significa que e ver se, a partir disso, podemos concluir que é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de diferença simétrica:
Isso significa que contém todos os elementos que estão em ou em , mas exclui os que estão em ambos.
Aplicando isso aos nossos conjuntos:

Passo 3

Segundo a hipótese, sabemos que:
Isso significa que os conjuntos e são iguais.
Para simplificar, vamos tentar isolar e . Vamos utilizar uma propriedade importante das diferenças simétricas:
Isso ocorre porque a diferença simétrica é comutativa e associativa, e aplicar a mesma operação duas vezes com o mesmo conjunto anula a operação.

Passo 4

Aplicando essa propriedade à nossa equação inicial:
Vamos adicionar de novo em ambos os lados:
Simplificando:

Resposta

Sim, é o caso de .

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Mostre que se e são conjuntos, então
.
Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de .
Considere para . Encontre
.
Considere e . Encontre
.