Encontre a série de Maclaurin de
usando as séries conhecidas.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função
. A série de Maclaurin é uma forma de expandir funções em potências de
em torno de 0. Para isso, vamos usar a série de Maclaurin da função cosseno, que é uma série conhecida que facilita nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin do cosseno. A série de Maclaurin para
é dada por:
Isso significa que podemos substituir qualquer expressão no lugar de
para obter uma série equivalente.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Vamos substituir
por
na série que lembramos:
Passo 4
Agora, nossa função
é
multiplicado por essa série. Vamos fazer essa multiplicação:
Passo 5
Vamos simplificar um pouco essa expressão. Primeiro, elevamos
à potência
:
Substituindo de volta na série:
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
Exercícios relacionados
(l)
.
É verdadeiro ou falso?
Para todos e
temos
.
Para todos
§
.
Sabendo que
, determine
, através da diferenciação implícita.
.