Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar uma série de potências centrada em
para a função
e determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e regras de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Sabemos que:
Isso nos ajuda a trabalhar com uma forma mais conhecida da função logarítmica.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da série de Taylor para
centrada em 0. A série é:
Como nossa função é
, basta multiplicar a série por
:
Passo 4
Então, a série de potências centrada em 0 para
é:
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência ® dessa série, observamos que a série de Taylor para
converge quando
. Portanto, o raio de convergência ��:
Passo 6
Finalmente, o intervalo de convergência é o conjunto de valores de
para os quais a série converge. Como
, o intervalo é:
Resposta
A série de potências centrada em
para
é:
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
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, e determine seu raio e intervalo de convergência: f)
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