Encontre uma série de potências, centrada em a = 0, e determine seu raio e intervalo de convergência: a) f(x) = ln(1 / (1 - x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar uma série de potências centrada em para a função e determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e regras de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Sabemos que:
Isso nos ajuda a trabalhar com uma forma mais conhecida da função logarítmica.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de Taylor para centrada em 0. A série é:
Como nossa função é , basta multiplicar a série por :

Passo 4

Então, a série de potências centrada em 0 para é:

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência ® dessa série, observamos que a série de Taylor para converge quando . Portanto, o raio de convergência ��:

Passo 6

Finalmente, o intervalo de convergência é o conjunto de valores de para os quais a série converge. Como , o intervalo é:

Resposta

A série de potências centrada em para é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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