Encontre uma série de potências, centrada em , e determine seu raio e intervalo de convergência: f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma série de potências centrada em para a função . Além disso, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre séries de potências e a função hiperbólica seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da função hiperbólica seno, que é dada por:
Sabendo disso, podemos expressar substituindo por :
Passo 3
Agora, vamos lembrar da série de potências da função , que é uma série de potências ímpar. A série de Taylor (ou Maclaurin, já que está centrada em 0) para é:
Substituindo por , temos:
E, lembrando que , a série de potências de será:
Passo 4
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o teste da razão, que consiste em analisar o limite:
Onde . Aplicando o teste da razão:
Como o limite é infinito, o raio de convergência também é infinito, o que significa que a série converge para todos os valores reais de .
Passo 5
Por fim, já temos tudo que precisamos! A série de potências de centrada em 0 é:
E o raio de convergência é infinito, o que nos dá um intervalo de convergência de .
Resposta
A série de potências centrada em 0 para é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .