Encontre uma série de potências, centrada em a = 0, e determine seu raio e intervalo de convergência: f) f(x) = senh(-5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma série de potências centrada em para a função . Além disso, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre séries de potências e a função hiperbólica seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da função hiperbólica seno, que é dada por:
Sabendo disso, podemos expressar substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de potências da função , que é uma série de potências ímpar. A série de Taylor (ou Maclaurin, já que está centrada em 0) para é:
Substituindo por , temos:
E, lembrando que , a série de potências de será:

Passo 4

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o teste da razão, que consiste em analisar o limite:
Onde . Aplicando o teste da razão:
Como o limite é infinito, o raio de convergência também é infinito, o que significa que a série converge para todos os valores reais de .

Passo 5

Por fim, já temos tudo que precisamos! A série de potências de centrada em 0 é:
E o raio de convergência é infinito, o que nos dá um intervalo de convergência de .

Resposta

A série de potências centrada em 0 para é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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Prove as igualdades abaixo: e) 1+sumn=1^infty 12(12-1) cdots(12-n+1)n! 13^n=(43)^1 / 2
Prove as igualdades abaixo: c) sumn=0^infty(-1)^n 12^n+1(n+1)=ln (32)
Prove as igualdades abaixo: f) sumn=1^infty 23^n-1=3