Prove as igualdades abaixo: c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que a soma infinita
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Vamos começar observando a série geométrica básica:
para
. Agora, vamos integrar ambos os lados dessa igualdade em relação a
.
Passo 3
Integrando a série termo a termo, temos:
E a integral do lado direito:
Ignoramos a constante de integração
porque estamos lidando com séries.
Passo 4
Então, igualando as duas integrais, temos:
Agora, dividimos ambos os lados por
para ajustar a expressão:
Passo 5
Vamos multiplicar ambos os lados por
para adequar à série que temos na questão:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
No entanto, observamos que na nossa manipulação inicial multiplicamos por
, então precisamos ajustar novamente:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
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