Prove as igualdades abaixo: e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar uma igualdade envolvendo uma soma infinita. A matéria que vamos usar aqui é a Série Binomial, que nos ajuda a expandir expressões como
. Para resolver, vamos precisar entender como funciona essa expansão e aplicar na expressão que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Fórmula do Binômio de Newton para expoentes não inteiros. A fórmula diz que:
Essa é uma expansão infinita válida para
.
Passo 3
No enunciado, temos
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Observe que a expressão que obtemos na expansão é exatamente a soma que está no enunciado do exercício:
Isso mostra que a soma infinita dada é igual a
.
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Prove as igualdades abaixo: b)
Prove as igualdades abaixo: d)
Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: a)
Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: f)