Prove as igualdades abaixo: e) 1+sumn=1^infty 12(12-1) cdots(12-n+1)n! 13^n=(43)^1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar uma igualdade envolvendo uma soma infinita. A matéria que vamos usar aqui é a Série Binomial, que nos ajuda a expandir expressões como (1 + x)^k. Para resolver, vamos precisar entender como funciona essa expansão e aplicar na expressão que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Fórmula do Binômio de Newton para expoentes não inteiros. A fórmula diz que:
(1 + x)^k = 1 + sumn=1^infty k(k - 1)(k - 2) cdots (k - n + 1)n! x^n
Essa é uma expansão infinita válida para |x| < 1.

Passo 3

No enunciado, temos k = 12 e x = 13. Vamos substituir esses valores na fórmula:
(1 + 13)^12 = 1 + sumn=1^infty 12(12 - 1)(12 - 2) cdots (12 - n + 1)n! (13)^n

Passo 4

Observe que a expressão que obtemos na expansão é exatamente a soma que está no enunciado do exercício:
1 + sumn=1^infty 12(12 - 1) cdots (12 - n + 1)n! 13^n
Isso mostra que a soma infinita dada é igual a (43)^12.

Resposta

Portanto, provamos que:
1 + sumn=1^infty 12(12 - 1) cdots (12 - n + 1)n! 13^n = (43)^12

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