Encontre uma série de potências, centrada em a = 0, e determine seu raio e intervalo de convergência: e) f(x) = (1+x) ln(1+x)

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é o exercício de encontrar uma série de potências centrada em para a função . Além disso, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de potências, séries de Taylor e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tem uma série de potências conhecida quando . A série de Taylor de centrada em 0 é:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a série para . Para isso, vamos multiplicar a série de por . Fazendo isso, temos:
Distribuindo na série, obtemos:
Podemos reescrever o segundo somatório mudando o índice de para :
Agora, combinando os termos semelhantes, teremos a série de potências para .

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência, observamos que a série de converge para . Como multiplicamos por , que é um polinômio de grau 1, o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja, .

Passo 5

Já para o intervalo de convergência, precisamos verificar os limites e :
  • Em :
A série converge para esse valor.
  • Em :
A série também converge para esse valor.
Portanto, o intervalo de convergência é .

Resposta

A série de potências centrada em para é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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