Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: e)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é o exercício de encontrar uma série de potências centrada em
para a função
. Além disso, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de potências, séries de Taylor e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
tem uma série de potências conhecida quando
. A série de Taylor de
centrada em 0 é:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a série para
. Para isso, vamos multiplicar a série de
por
. Fazendo isso, temos:
Distribuindo
na série, obtemos:
Podemos reescrever o segundo somatório mudando o índice de
para
:
Agora, combinando os termos semelhantes, teremos a série de potências para
.
Passo 4
Para encontrar o raio de convergência, observamos que a série de
converge para
. Como multiplicamos por
, que é um polinômio de grau 1, o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja,
.
Passo 5
Já para o intervalo de convergência, precisamos verificar os limites
e
:
- Em
:
A série converge para esse valor.
- Em
:
A série também converge para esse valor.
Portanto, o intervalo de convergência é .
Portanto, o intervalo de convergência é
Resposta
A série de potências centrada em
para
é:
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: g)
Prove as igualdades abaixo: f)
Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: h)
Encontre uma série de potências para representar a função
e, por derivação termo a termo, prove que
.